ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Ι. ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΥΟ ΑΡΧΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ (BOLZANO)

Κατασκευάζω μια συνάρτηση και την δοκιμάζω.

      function f(x)

      real*8 f,x

      f=dexp(x)-x**2d0

      return

      end

     

      program BolzanoRF

      real*8 f,x1,x2,x3

      print *,’x1=’

      read  *, x1

      print *,’f1=’,f(x1)

      print *,’x2=’

      read  *, x2

      print *,’f2=’,f(x2)

      pause

      end

Βρείτε δυο τιμές x₁ και x₂ για τις οποίες η συνάρτηση είναι ετερόσημη, δηλ. f(x₁)f(x₂)<0.

Βρίσκω το πρόσημο της συνάρτησης στο μέσο του διαστήματος x₁x₂.

      program BolzanoRF

      real*8 f,x1,x2,x3

      print *,’x1=’

      read  *, x1

      print *,’f1=’,f(x1)

      print *,’x2=’

      read  *, x2

      print *,’f2=’,f(x2)

      pause

      x3=(x1+x2)/2d0

      print *,'(x1,x3,x2)=',  x1 ,  x3 ,  x2

      print *,'(f1,f3,f2)=',f(x1),f(x3),f(x2)

      pause

      end

Ελέγχω αν στα σημεία x₁ και x₃ η συνάρτηση είναι ετερόσημη.

Αν είναι, τότε το καινούριο μου διάστημα είναι το x₁x₃ και άρα θέτω x₂=x₃.

Αν δεν είναι, τότε σίγουρα το x₂ είναι ετερόσημο του x₃. Σ’ αυτήν την περίπτωση, το καινούριο μου διάστημα είναι το x₂x₃ και άρα θέτω x₁=x₃.

      print *,’x2=’

      read  *, x2

      print *,’f2=’,f(x2)

      pause

      x3=(x1+x2)/2d0

      print *,'(x1,x3,x2)=',  x1 ,  x3 ,  x2

      print *,'(f1,f3,f2)=',f(x1),f(x3),f(x2)

      if (f(x1)*f(x3).lt.0d0) then

         x2=x3

      else

         x1=x3

      end if

      pause

      print *,'(x1,x2)=',  x1 ,  x2

      print *,'(f1,f2)=',f(x1),f(x2)

      pause

      end

Στην αρχή ήξερα ότι η ρίζα της εξίσωσης βρίσκεται στο διάστημα x₁x₂ αλλά τώρα ξέρω ότι η ρίζα βρίσκεται π.χ. στο διάστημα x₃x₂, δηλαδή έχω περιορίσει τη ρίζα στο μισό από το αρχικό μου διάστημα (διχοτόμησα το αρχικό μου διάστημα)!

Επαναλαμβάνω τη διαδικασία διχοτόμησης αρκετές φορές.

      print *,’x2=’

      read *,x2

      print *,’f2=’,f(x2)

      pause

11    x3=(x1+x2)/2d0    σ’ αυτό το σημείο βάζω την «ετικέτα» 11

      print *,'(x1,x3,x2)=',x1,x3,x2

      print *,'(f1,f3,f2)=',f(x1),f(x3),f(x2)

      if (f(x1)*f(x3).lt.0d0) then

         x2=x3

      else

         x1=x3

      end if

      pause

      print *,'(x1,x2)=',x1,x2

      print *,'(f1,f2)=',f(x1),f(x2)

      pause

      if (dabs(f(x3)).gt.1d-5) goto 11    το if κατευθύνει τη ροή του

προγράμματος πίσω στο σημείο 11

δημιουργώντας έτσι ένα «λογικό βρόχο»

      print *,'Root: (x3,f3)=',x3,f(x3)

      pause

      end

 

Έχω βρει τη ρίζα! (‘Η, καλύτερα, έχω βρει ένα x₃ που είναι πάρα πολύ κοντά στη ρίζα της δοθείσας εξίσωσης)

ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ (REGULA FALSI)

Για τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής χρησιμοποιώ τον τύπο

αντί του τύπου .

• Σε ποιό σημείο του προγράμματος θα κάνω αυτήν την αλλαγή;
• Πώς θα γράψω την παραπάνω σχέση στη γλώσσα Fortran;
• Τι παρατηρώ ως προς την ταχύτητα σύγκλισης; Γιατί συμβαίνει αυτό;

 

ΜΕΘΟΔΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ (τροποποιημένος αλγόριθμος)

Για γρηγορότερη σύγκλιση χρησιμοποιώ τη συνθήκη αντί της συνθήκης .

• Σε ποιό σημείο του προγράμματος θα κάνω αυτήν την αλλαγή;
• Πώς θα γράψω την παραπάνω σχέση στη γλώσσα Fortran;
• Τι παρατηρώ ως προς την ταχύτητα σύγκλισης; Γιατί συμβαίνει αυτό;