ΑΝΑΛΥΣΗ  ΙΙ

 

Ιανουάριος  2003

 

1.       Να  βρεθεί το όριο της συνάρτησης

 

 

όταν x®¥ , y®¥.

 

2.α) Υπολογίστε την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας στην καμπύλη

 

 

στο σημείο P(1/2, π/3).

 

β) Να βρεθεί  η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου και της κάθετης ευθείας στην επιφάνεια

στο σημείο P(2,1,8).

 

3. Να βρεθούν και να  χαρακτηριστούν τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης

 

.

 

 

Απαντήσεις

 

1.       3/5

 

2 α                        

 

 

 

β1) 12x+40y-z-56=0

  

β2) 

 

2.       Κρίσιμα σημεία

 

   

 

Το (i), αν α>0, είναι  μέγιστο ενώ,  αν α<0, είναι σαγματικό. Το (ii) ,αν α>0 ,είναι σαγματικό  ενώ,  αν α<0,  είναι ελάχιστο.

 

 

ΑΝΑΛΥΣΗ  ΙΙ

 

 

Ιούνιος  2003

 

1 .Δίνεται η συνάρτηση  

                                          (1)

Να δειχθεί ότι

 

.           (2)

 

 

ΛΥΣΗ. Η συνάρτηση (1) είναι ορισμένη και συνεχής σε όλο το R2  Η μερική παράγωγος πρώτης τάξης  της συνάρτησης ως προς x είναι

 

 (3)

 

Για να βρούμε την τιμή της παραπάνω παραγώγου στο σημείο Ρ(0,0)

θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου.Έχουμε λοιπόν

 

           (4)

 

Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι το αποτέλεσμα (4) μπορεί να προκύψει και αν πάρουμε το όριο της (3) όταν .Αυτό σημαίνει ότι η παράγωγος (2) είναι συνεχής συνάρτηση σε όλο το  το R2.

 

 

2. Δίνεται  η συνάρτηση

 

                                                      (1)

Δείξτε ότι

 

ΛΥΣΗ. Παραγωγίζοντας διαδοχικά την συνάρτηση (1) βρίσκουμε

 

 ,

 

 

.

 

Επειδή όμως, λόγω της (4.81), ισχύει

,

έχουμε τελικά

 

 

3 Εργολάβος πρόκειται να κατασκευάσει μια μεταλλική δεξαμενή σχήματος παραληλλεπιπέδου και χωρητηκότητας 128 m3. Η βάση και η οροφή της δεξαμενής πρέπει να κατασκευαστούν από   υλικό που στοιχίζει 8 ευρώ το m2 ενώ η παράπλευρη επιφάνεια από υλικό που στοιχίζει  4 ευρώ το m2. Ποιές πρέπει να είναι οι διαστάσεις της δεξαμενής ώστε να έχουμε ελάχιστο κόστος κατασκευής και ποιο είναι αυτό;

 

ΛΥΣΗ. Αν σημειώσουμε με x, y και z το μήκος πλάτος και ύψος  της  δεξαμενής, αντίστοιχα, τότε η συνολική της επιφάνεια  Ε και η χωρητηκότητάτης V θα δίνoνται από τις συναρτήσεις

 

.       (1)

Η συνάρτηση που δίνει το κόστος κατασκευής είναι

 

Αντικαθιστώντας την τιμή της μεταβλητής  z τη δεύτερη των εξώσεων (1) συνάρτησης που δίνει το κόστος της δεξαμενής γίνεται

 

.                                (2)

 

 Βρίσκουμετα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f (x,y) λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων

 

.     

Επειδή οι διαστάσεις της δεξαμενής πρέπει να είναι θετικοί αριθμοί η μόνη παραδεκτή λύση του συστήματος είναι

 

.

Οι παράγωγοι δεύτερης τάξης της συνάρτησης f (x,y) είναι

 

.

Για το κρίσιμο σημείο βρίσκουμε

,

δηλαδή η συνάρτηση παρουσιάζει σχετικό ελάχιστο. Επομένως οι διαστάσεις της, υποκατασκευήν,δεξαμενής θα πρέπει να είναι  x= y = 4 m και z=8m. To συνολικό κόστος κατασκευής της δεξαμενής προκύπτει ίσο με 768 ευρώ.

 

 

 

ΑΝΑΛΥΣΗ  ΙΙ

 

Ιανουάριος  2004

 

1.α)Αν 

 είναι το ηλεκτροστατικό δυναμικό ενός σημειακού φορτίου Q να βρεθεί το ηλεκτροστατικό  πεδίο Ε= -Ñf, (k σταθερή).

 

β) Δείξτε ότι Ñ(α·r) =α  για οποιοδήποτε σταθερό διάνυσμα α.

 

 

2. Ο όγκος V   ρευστού κατά μήκος ενός σωλήνα ροής, δίνεται από τη σχέση

 

,

 

όπου  p η πίεση  του ρευστού, α η ακτίνα ,  l το μήκος του σωλήνα και  μ  ο συντελεστής ιξώδους .Να βρεθεί η επί τοις εκατό μεταβολή του όγκου άν έχουμε αύξηση 5% στα α, l μείωση 10% στο p και μείωση 30% στο  μ.

 

3. Να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο P(0,1) η συνάρτηση

 

.

και να κρατηθούν όροι μέχρι δεύτερης τάξης ως προς τις μεταβλητές.

 

 

Απαντήσεις.

 

 

1  α)  . β) Θέτουμε  α ·r = α1x+ α2 y+ α3  z  και βρίσκουμε ότι ισχύει.

 

2.  .

 

Αριθμητικό αποτέλεσμα   .

 

3. .

 

 

 

ΑΝΑΛΥΣΗ  ΙΙ

 

Σεπτέμβριος  2004

 

 

1.Τρεις  φίλοι Α,Β,Γ αποφασίζουν να διοργανώσουν ένα μίνι τουρνουά σκάκι, όπου η πιθανότητα να κερδίσει ο Α είναι  x , ο  Β  y  και ο Γ  z, με x+y+z=1.  Αν δεχτούμε ότι η μέγιστη πιθανότητα κέρδους μπορεί να δοθεί από τη συνάρτηση

 

 ,

 

ζητείται να βρεθεί ποιος από τους τρεις φίλους έχει τη μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει το τουρνουά.

 

2. Να βρεθεί  η παράγωγος της συνάρτησης

 

,

κατά την κατεύθυνση της ευθείας x+y=1 (προς τα θετικά y) στο σημείο Μ(1,-1).

 

3.Να βρεθεί η  παράγωγος  zx  της πλεγμένης συνάρτησης  z(x,y) που ορίζεται από τη εξίσωση

 

.

 

Τι συμβαίνει όταν α=1; Βρείτε  στην περίπτωση αυτή τη μικτή παράγωγο zxy.

 

Απαντήσεις

 

1.

Για  η συνάρτηση έχει μέγιστο.

 

2..

 

 

3. για α=1 είναι   z=xy  και zxy=1.