ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

II. ΜΕΘΟΔΟΙ RUNGE-KUTTA & ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΒΗΜΑΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ (Παράδειγμα της Ενότητας 6.1.1, σελ.96 των Σημειώσεων Αριθμητικής Ανάλυσης)

Έστω η διαφορική εξίσωση με αρχικές τιμές y(0)=1. Να βρεθεί η τιμή της y(1).

Κατεβάστε το αρχείο RK.for από την ιστοσελίδα www.astro.auth.gr/~miltos/numanal.html

Το αρχείο RK.for τρέχει τη μέθοδο Runge-Kutta 2^ης τάξης.

1. Τροποποιήστε το αρχείο ώστε να τρέχει τη μέθοδο Runge-Kutta 4^ης τάξης.

Επαληθεύστε τα αποτελέσματά σας από το αρχείο RK.dat.

Κατεβάστε το αρχείο AM.for

Το αρχείο AM.for τρέχει τη μέθοδο Adams με συμπτωτικό πολυώνυμο 2^ου βαθμού.

Για τα πρώτα 2-3 βήματα χρησιμοποιήστε μια single-step μέθοδο της αρεσκείας σας π.χ. τη μέθοδο Euler που είναι εύκολη αλλά κακή ή τη μέθοδο Runge-Kutta 4^ης τάξης που είναι καλή αλλά δύσκολη.

2. Τροποποιήστε το αρχείο ώστε να τρέχει τη μέθοδο Adams (συμπτωτικό πολυώνυμο 3^ου βαθμού).
3. Τροποποιήστε το αρχείο ώστε να τρέχει τη μέθοδο Adams-Μoulton.

Επαληθεύστε τα αποτελέσματά σας από το αρχείο AM.dat.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΤΙΜΗ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ

Η ακριβής λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι y(x)=2e^x-x-1 άρα

y(1)=2e¹-1-1= 3.4365636569180904707205749427053

ΜΕΘΟΔΟΙ RUNGE-KUTTA

2^ης τάξης:

4^ης τάξης:

ΜΕΘΟΔΟΙ ADAMS

Συμπτωτικό πολυώνυμο 2^ου βαθμού:

Συμπτωτικό πολυώνυμο 3^ου βαθμού:

ΜΕΘΟΔΟΣ ADAMS-MOULTON

Τύπος πρόβλεψης:

Τύπος διόρθωσης: