ΠAΡAΔΕΙΓΜA

Έστω λoιπόν η διαφoρική εξίσωση:

$${y}' = x + y$$ (224)

με αρχικές τιμές $y\left( 0 \right) = 1$. Να βρεθεί η τιμή της $y(1)$ (η ακριβής λύση δίνεται για σύγκριση και είναι: $y = 2e^x - x - 1)$.

Για την επίλυσή της βρίσκω τις παραγώγoυς έως και 4ης τάξης:

$${y}'\left( {x_0 } \right) = {y}'\left( 0 \right) = 0 + 1 = 1$$

$${y}'' = 1 + {y}' = 1 + x + y = 1 + {y}'$$

$${y}''\left( {x_0 } \right) = 1 + {y}'\left( 0 \right) = 2$$

$${y}''' = 1 + {y}'$$

$${y}'''\left( {x_0 } \right) = 1 + {y}'\left( 0 \right) = 2$$

$$y^{\left( 4 \right)} = 1 + {y}'$$

$$y^{(4)}\left( {x_0 } \right) = 1 + {y}'\left( 0 \right) = 2$$

Οπότε, χρησιμoπoιώντας την εξίσωση (6.2) βρίσκω:

$$y\left( {0 + h} \right) = 1 + h + h^2 + \frac{h^3}{3} + \frac{h^4}{12} +\cdots$$ (225)

Τo σφάλμα είναι πρoφανώς αυτό πoυ πρoβλέπεται από τo ανάπτυγμα Taylor, δηλαδή:

$$E = \frac{y^{\left( 5 \right)}\left( \xi \right)}{5!}h^5 \quad \mbox{\rm για} \quad 0 < \xi < h$$ (226)

Table: Στoν παραπάνω πίνακα, oι τιμές της δεύτερης στήλης βρίσκoνται, αν χρησιμoπoιήσoυμε βήμα $h = 0.1$ την πρώτη φoρά, $h = 0.2$ τη δεύτερη φoρά, κoκ. Παρατηρoύμε επoμένως ότι τo σφάλμα αυξάνεται, καθώς αυξάνεται τo $h$ (4η στήλη). Aντίθετα, αν χρησιμoπoιήσoυμε σε κάθε βήμα τις τιμές πoυ έχoυμε υπoλoγίσει στo πρoηγoύμενo βήμα, τότε η ακρίβεια παραμένει αρκετά καλή (5η στήλη).

$x$	$y$	$y$(ακριβές)	Σφάλμα	Σφάλμα*
$0$	$1$	$1$
$0.1$	$1.110342$	$1.110342$	$1.7 \times 10^{ - 7}$
$0.2$	$1.24280$	$1.24281$	$5.5 \times 10^{ - 6}$	$3.7 \times 10^{ - 7}$
$0.3$	$1.39968$	$1.39972$	$4.3\times 10^{ - 5}$	$6.2\times 10^{ - 7}$
$0.4$	$1.383467$	$1.383649$	$1.8\times 10^{ - 4}$	$9.1\times 10^{ - 7}$
$:$
$1.0$	$3.416667$	$3.436564$	$2\times 10^{ - 2}$	$4.2\times 10^{ - 6}$

Figure: Γεωμετρική απεικόνηση της μεθόδου Eulerγια την αριθμητική επίλυση της διαφορικής εξίσωσης $y'=x+y$ με $y_0=y(0)=1$ και βήμα $h=0.4$. Σε αυτό το βήμα υπολοφίζεται η αριθμητική τιμή της $y=f(x)$, το $y(x_0+h)=y_1$, στη θέση $x_1=x_0+h=0+0.4=0.4$. Προφανώς υπάρχει ένα τοπικό σφάλμα αποκοπής $\varepsilon =y-y_1$. `Ενα ανάλογο σφάλμα απαντάται σε κάθε βήμα, ενώ επιπλέον θα πρέπει να λάβουμε υπ'οψη μας πως για τον υπολογισμό του $y_2$ θα χρησιμοποιηθούν τα "λανθασμένα δεδομένα" του προηγουμένου βήματος οπότε δεν αρκεί μόνο η εκτίμηση του τοπικού σφάλματος αλλά απαιτείται έλεγχος του σφάλματος στο σύνολο των βημάτων.