ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1. Επιλύστε αριθμητικά την εξίσωση Laplaceγια ένα τετράγωνο με συνοριακές συνθήκες
   
   $$u(0,y)=0 \quad \mbox{όταν} \quad 0 \leq y \leq 1$$
   
   
   
   
   $$u(1,y)=0 \quad \mbox{όταν} \quad 0 \leq y \leq 1$$
   
   
   
   
   $$u(x,1)=0 \quad \mbox{όταν} \quad 0 \leq x \leq 1$$
   
   
   
   
   $$u(x,0)=x(1-x) \quad \mbox{όταν} \quad 0 \leq x \leq 1$$
   
   
   (Υπόδειξη: για πλέγμα $4\times 4$ σημείων η λύση είναι $u_{2,2}=1/12$, $u_{3,2}=1/12$, $u_{2,3}=1/36$, $u_{3,3}=1/36$). Βρείτε τη λύση για πλέγμα $8\times 8$ σημείων.

2. Χρησιμοποιήστε τη σχέση (4.18) για να αποδείξετε το σχήμα 9 σημείων, δηλαδή την εξίσωση (8.17), για την επίλυση της εξίσωσης Laplace. Στη συνέχεια να τη χρησιμοποιήστε για την επίλυση του λυμένου παραδείγματος.

3. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των 9 σημείων για την επίλυση του λυμένου παραδείγματος με ένα πλέγμα $20\times 20$ σημείων.

4. Σε μια ορθωγώνια περιοχή $6cm \times 8cm$ η συνάρτηση $u(x,y)$ στα σύνορα της είναι μηδέν (0) και υπακούει στο νόμο
   
   $$\nabla^2 u +2 =0.$$
   
   
   Υπολογίστε τις τιμές της $u(x,y)$, ανά $1cm$ στο εσωτερικό της περιοχής. (Ουσιαστικά εδώ λύνουμε την εξίσωση Poisson). Υπόδειξη: αν την λύνατε για πλέγμα εύρους $2cm$ τότε θα βρίσκατε τις λύσεις $u_{2,2}=u_{3,2}=u_{2,4}=u_{3,4}=4.56$ και $u_{2,3}=u_{3,3}=5.72$