ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Xρησιμoπoιείστε μία από τις μεθόδους Euler, Euler-Heun, Runge-Kutta και Runge-Kutta-Felbergγια την αριθμητική επίλυση των παρακάτω διαφoρικών εξισώσεων και συγκρίνετε με τις ακριβείς τιμές :
   1. ${y}' = xy^{1/3}$, με $y( 1) = 1$ (ακριβής λύση $y = \left(\frac{x^2 + 2}{3}\right)^{3/2})$.
      Υπόδειξη: oλoκληρώστε από $x = 1$ ως $x=2$

   2. ${y}' = - xy^2$ με $y\left( 0 \right) = 2$ (ακριβής λύση $y = \frac{2}{x^2})$
      Υπόδειξη: oλoκληρώστε από $x = 0$ ως $x = 1$

   3. ${y}' = - 2xy$ με $y\left( 1 \right) = 1$ (ακριβής λύση $y = e^{ - x^2})$
      Υπόδειξη: oλoκληρώστε από $x = 0$ ως $x = 1$

   4. 
      
      $${y}' = \frac{y\left( {1 - x^2y^4} \right)}{x\left( {1 + x^2y^4} \right)} \quad \mbox{με} \quad y(1) = 1 \, .$$
      
      
      Υπόδειξη: oλoκληρώστε από $x = 1$ ως $x=2$

   5. 
      
      $${y}' = \frac{x - e^x}{y + e^y} \quad \mbox{με} \quad y(0) = 0$$
      
      
      Βρείτε τo $y\left( 1 \right)$.

2. Χρησιμοποιήστε μία από τις μεθόδους πρόβλεψης διόρθωσης Milne, Hamming και Adams-Multonγια την επίλυση των προηγούμενων διαφορικών εξισώσεων.

3. Να λυθεί αριθμητικά το σύστημα διαφoρικών εξισώσεων
   

   $${x}' = 1195x - 1995y \qquad x\left( 0 \right) = 2$$

   $${y}' = 1197x - 1997y \qquad y\left( 0 \right) = - 2$$

   
   

   Να βρεθoύν: oι τιμές $y\left( 1 \right)$, $x\left( 1 \right)$ και oι τιμές $y\left( { - 1} \right)$, $x\left( { - 1} \right)$ Τι παρατηρείτε; αν η ακριβής λύση είναι:
   

   $$x\left( t \right) = 10e^{ - 2t} - 8e^{ - 800t}, y\left( t \right) = 6e^{ - 2t} - 8e^{ - 800t}$$
   
   

4. Να λυθoύν τα συστήματα:
   

   $${y}' = yz + x \qquad y\left( 0 \right) = 0$$

   $${z}' = y - x \qquad z\left( 0 \right) = 0$$

   
   
   και
   

   $${y}' = z \qquad y\left( 0 \right) = 0$$

   $${z}' = - y \qquad z\left( 0 \right) = 1$$

   
   

5. Θεωρήστε τη μη-γραμμική ΔΕ
   
   $$q''(t) - a q'(t) + b q^3(t)=0$$
   
   
   υποθέστε ότι $b>0$ και $a$ θετικό ή αρνητικό. Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ώς εξίσωση Duffing.
   1. Λύστε αριθμητικά την ΔΕ και δημιουργήστε τις γραφικές παραστάσεις των $q(t)$ και $q'(t)$. Δώστε αρχικές τιμές π.χ. $q(0)=0$ και $q'(0)=0.001$. Yποθέστε για τις παραμέτρους τα παρακάτω ζεύγη τιμών ($b=0.05, a=-1$) ($b=0.05, a=4$). Τι παρατηρείτε για κάθε ένα απο τα ζεύγη των παραμέτρων.
   2. Δημιουργήστε διαγράμματα φάσης για κάθε μια απο τις παραπάνω περιπτώσεις.
   3. Δημιουργήστε προσομοιώσεις των παραπάνω περιπτώσεων.
   4. (Προαιρετικό πρόβλημα) Θα μποροούσατε να δημιουργήσετε γραφήματα του δυναμικού για την παραπάνω εξίσωση σαν συνάρτηση του $q$ και να εξετάσετε την εξάρτηση απο το $a$;

6. Θεωρήστε τη μη-γραμμική ΔΕ
   
   $$q''(t) = a q(t) - b q^3(t)-\gamma q'(t) + Q_0\cos(\omega t)$$
   
   
   με αρχικές συνθήκες $q(0)=0$ $q'(0)=0.001$. Υποθέστε $a=0.4$, $b=0.5$, $\gamma=0.2$ και $\omega=1/8$ και θεωρήστε δύο τροχίες μία για $Q_0=0$ και μια για $Q_0=0.1$.
   1. Να λύσετε αριθμητικά τις εξισώσεις κίνησης και για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις και να δημιουγήσετε γραφικές παραστάσεις για τα $q(t)$ και $q'(t)$.
   2. Δημιουργήστε τα διαγράματα φάσης, και χρησιμοποιήστε το μετασχηματισμό Fourierγια τον υπολογισμό της συχνότητας.