ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ

Έστω $\xi$ η ρίζα της εξίσωσης $f\left( {x} \right) = 0$. Τότε $x_{n} = \xi + \varepsilon _{n}$ και $x_{n + 1} = \xi + \varepsilon _{n + 1}$, οπότε:

$$\xi + \varepsilon _{n + 1} = \xi + \varepsilon _{n} - \frac... ...{\xi} \right) + \varepsilon _{n} {f}''\left( {\xi} \right)}}$$

Επειδή όμως $f\left( {\xi} \right) = 0$ και

$$\frac{1}{1+\varepsilon f''(\xi)/f'(\xi)}\approx 1-\varepsilon_n \frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}$$

καταλήγουμε στη σχέση

$$\varepsilon _{n + 1} = - \frac{{{f}''\left( {\xi} \right)}}{{2{f}'\left( {\xi} \right)}} \cdot \varepsilon _{n}^{2}$$ (34)

Όπως παρατηρείτε, η σύγκλιση της μεθόδου είναι « τετραγωνική», δηλαδή καλύτερη από κάθε άλλη μέθοδο που χρησιμοποιήσαμε ως τώρα.