ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης $e^x - \sin (x)=0$ ( $\rho=-3.183063012$). Αν το αρχικό διάστημα είναι [-4, -3], πόσες εφαρμογές της μεθόδου διχοτόμησης απαιτούνται, για να επιτύχουμε ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων (δηλαδή) $\vert x_n-\rho\vert < 0.00005$;

2. Υπολογίστε το σημείο τομής των καμπυλών $y =e^{x}$ και $y = 2x + 1$ με ακρίβεια τριων δεκαδικών ψηφίων με τη μέθοδο της διχοτόμησης.

3. Εφαρμόστε τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής στη λύση του προβλήματος 1. Πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για την επίτευξη της ακρίβειας των τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων;

4. Επαναλάβετε την άσκηση 2 με τη χρήση γραμμικής παρεμβολής.

5. Εφαρμόστε τη μέθοδο Mullerστις ασκήσεις 1 και 2.
6. Βρείτε τις τρεις ρίζες της $e^x- 2x^2 =0$, με κατάλληλη χρήση της μεθόδου $x = g(x)$.

7. Να βρεθούν οι ρίζες της $3x - \sin(x)-e^x=0$ με τη μέθοδο της γραμμικής παρεμβολής και τη μέθοδο Newton-Raphson.

8. Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης $x^{2} - 2x - 3 = 0$ (προφανώς είναι 3 και -1) με τη μέθοδο $x = g(x)$. Δοκιμάσετε τις κατάλληλες γραφές για να επιτύχεται σύγκλιση.

9. Εφαρμόστε τη μέθοδο Newton-Raphson στις ασκήσεις 1 και 2.

10. Να βρεθεί η $n$-οστή ρίζα ενός αριθμού (αναδρομική σχέση)

11. Να βρεθεί η 3η ρίζα ενός αριθμού

12. Να βρεθεί η ιδιοτιμή $\lambda$ της εξίσωσης $y'' + \lambda y = 0$ με οριακές συνθήκες $y\left( {0} \right) = 0$ και $y\left( {1} \right) = y'\left( {1} \right)$.

13. Γνωρίζουμε ότι αν η $f\left( {x} \right)$ έχει διπλή ρίζα στο $x = r$ τότε $f'\left( {r} \right) = 0$. Επίσης αν η $f\left( {x} \right)$ έχει μια ρίζα με πολλαπλότητα $m$ στο $x = r$ τότε $f^{\left( {i} \right)} = 0,$ για $i = 1,2,...,m - 1.$ Με βάση τα προηγούμενα να δειχθεί ότι αν $f\left( {x} \right),f'\left( {x} \right)$ και $f''\left( {x} \right)$ είναι συνεχείς και φραγμένες σ'ένα διάστημα που περιέχει μια ρίζα πολλαπλότητας $m$ δηλαδή είναι $f\left( {r} \right) = f'\left( {r} \right) = ... = f^{\left( {m - 1} \right)}\left( {r} \right) = 0$ αλλά $f^{\left( {m} \right)}\left( {r} \right) \ne 0$ τότε η
    
    $$x_{n + 1} = x_{n} - m\frac{{f\left( {x_{n}} \right)}}{{f'\left( {x_{n}} \right)}}$$
    
    
    συγκλίνει τετραγωνικά.

14. Να βρεθεί ο αντίστροφος ενός αριθμού χωρίς χρήση διαίρεσης.

15. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο $x = g(x)$ να βρεθεί μια ρίζα του πολυωνύμου $2x^{3} + 4x^{2} - 2x - 5 = 0$ κοντά στο 1. Χρησιμοποιείστε τουλάχιστον δύο διαφορετικές αναδιατάξεις του πολυωνύμου και συγκρίνετε το αποτέλεσμα. Τέλος χρησιμοποιήστε τη μέθοδο Aitkenγια τη βελτίωση του τελικού αποτελέσματος.

16. Να βρεθεί αριθμητικά η τιμή του $1/\sqrt {a}$

17. Η $f\left( {x} \right) = e^{x} - 3x^{2} = 0$ έχει τρείς ρίζες. Αν γραφεί στη μορφή $x = \pm \sqrt {e^{x}/3}$ να βρεθούν οι ρίζες της, όσες είναι δυνατόν, και αν δεν μπορεί να βρεθεί κάποια με αυτό το σχήμα τότε δοκιμάστε εναλλακτικά σχήματα.

18. Να γίνoυν δύo βήματα με τη μέθoδo Newton-Raphsonγια τo παρακάτω σύστημα, με αρχικές τιμές (0,1):
    

    $$4x^2 - y^2 = 0$$

    $$4xy^2 - x = 1$$

    
    

19. Με αρχικές τιμές (0,0,1) να γίνει ένα βήμα με τη μέθoδo Newton-Raphsonγια τo σύστημα
    

    $$xy - z^2 = 1$$

    $$xyz - x^2 + y^2 = 2$$

    $$e^x - e^y + z = 3$$

    
    
    Να εξηγηθεί τo απoτέλεσμα.

20. Να λυθoύν τα παρακάτω συστήματα με χρήση των δύo αριθμητικών μεθόδων και συγκρίνεται την ταχύτητα σύγκλισης τους.
    

    $$e^x - y = 0$$

    $$xy - e^x = 0$$

    
    
    
    

    $$xyz - x^2 + y^2 = 1.34$$

    $$xy - z^2 = 0.09 \nonumber$$

    $$e^x - e^y + z = 0.41$$

    
    
    
    

    $$x^3 - y = 0$$

    $$x^2 + y^3 = 1$$