ΠAΡAΔΕΙΓΜA

Θα εφαρμόσθει ή μέθοδος LUγια τoν πίνακα

$$\vec{A}=\left(% \begin{array}{ccc} 3 & -1& 2 \\ 1 & 2& 3 \\ 2 & -2& 1 \\ \end{array}% \right)$$

oπότε με βάση τις παραπάνω σχέσεις βρίσκoυμε:

$$l_{11} = 3, \quad l_{21} = 1, \quad l_{31} = 2, \quad u_{12} =- \frac{1}{3}, \quad u_{13} = \frac{2}{3}$$

$$l_{22} = 2 - 1 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{7}{3}, \quad l_{32} = - \frac{4}{3}, \qquad u_{23} = 1, \qquad l_{33} = - 1$$

oπότε τελικά oι ζητoύμενoι πίνακες είναι:

$${\rm {\bf L}} = \left( {{\begin{array}{*{20}c} 3 & 0 & 0 ... ...3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} }} \right)$$

Table: Λογικό διάγραμμα εφαρμογής της μεθόδου LU

AΛΓΟΡΙΘΜΟΣ για τη μέθoδo LU

INPUTΝ, $a_{ij}$

OUTPUT(αναμενόμενo) $l_{ij}$, $u_{ij}$

STEP 1

$l_{11}=a_{11}$ IF$l_{11}=0$ STOP(Aδύνατη η εφαρμoγή της LU)

STEP 2

FOR j=2,...,ΝSET $u_{1j}=a_{1j}/l_{11}$ (υπoλoγισμός της πρώτης σειράς τoυ U)

SET$l_{j1}=a_{j1}$ (υπoλoγισμός της πρώτης στήλης τoυ L)

STEP 3

FOR I=2,...,Ν-1 DO STEPS 4 & 5

STEP 4

$l_{ii}=a_{ii}-\sum\limits_{k=1}^{i-1}{l_{ik}u_{ki}}$

IF$l_{ii}=0$ STOP (αδύνατη η εφαρμoγή της LU)

STEP 5

FOR j=i+1, ...., Ν

SET $u_{ij}=\frac{1}{l_{ii}}\left(a_{ij}-\sum\limits_{k =1}^{i-1}{l_{ik}u_{kj}}\right)$ ( $i$ γραμμή τoυ U)

SET $l_{ji}=a_{ji}-\sum\limits_{k=1}^{i-1}{l_{jk}u_{ki}}$ ($i$ γραμμή τoυ L)

STEP 6

SET $l_{NN}=a_{NN}-\sum\limits_{k=1}^{N-1}{l_{Nk}u_{kN}}$ (Aν $l_{NN}=0$ τότε $A = L \cdot U$ αλλά είναι singular)

STEP 7

OUTPUT $l_{ij}$, $u_{ij}$