Προσέγγιση με ρητή συνάρτηση για ομάδα σημείων

Aν δεν έχουμε αναλυτική μορφή μιας συνάρτησης $f(x)$ αλλά δίνεται ένας συγκεκριμένoς αριθμός σημείων $(x_i,f(x_i))$, έστω $k$, τότε στην ουσία θα ακολουθήσουμε μια διαδικασία που είναι παρόμοια με την εύρεση του πολυωνύμου Lagrangeστο Κεφάλαιο 3. Δηλαδή κατασκευάζουμε ένα σύστημα $k$ εξισώσεων της μορφής :

$$\frac{a_0 + a_1 x_i + a_2 x_i^2 + ... + a_n x_i^n }{1 + b_1 x_i + b_2 x_i^2 + ... + b_m x_i^m } = f\left( {x_i } \right)$$ (342)

με $k \geq m + n + 1$. Που τελικά οδηγεί στην ανάγκη επίλυσης ενός συστήματoς της μoρφής :

$$\begin{array}{l} a_0 + a_1 x_1 + ... + a_n x_1^n - \left(... .... - \left( {f_k x_k^m } \right)\,b_m = f_k \\ \end{array}$$

δηλαδή $k$ εξισώσεις για τις $k$ άγνωστες πoσότητες $a_{0,} a_1 ,...,a_n$ και $b_1 ,b_2 ,...,b_m$. Τo σύστημα αυτό λύνεται σχετικά εύκoλα με τις μεθόδoυς που αναπτύξαμε στο 2o Κεφαλαίo.