Η ΜΕΘΟΔΟΣ $x = g(x)$

Στα Μαθηματικά, ονομάζουμε σταθερό σημείο μιας συνάρτησης $g\left( {x} \right)$ έναν πραγματικό αριθμό τέτοιον, ώστε $p = g\left( {p} \right)$. Ενώ η ακολουθία $p_{n + 1} = g\left( {p_{n}} \right)$ για $n = 0,\,1,\,...$ καλείται ακολουθία σταθερού σημείου.

ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω μια συνεχής συνάρτηση $g\left( {x} \right)$ και μια ακολουθία $p_{n}$, που δημιουργείται από μια αναδρομική σχέση σταθερού σημείου. Αν $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} p_{n} = p$, τότε το $p$ είναι ένα σταθερό σημείο της $g\left( {x} \right)$.

Αν δοθεί μια συνάρτηση $f(x)$ της οποίας ζητάμε τη ρίζα $f(\rho)= 0$ και είναι δυνατό να βρεθεί μια γραφή $x = g\left( {x} \right)$ τέτοια, ώστε, αν $f(\rho)= 0$ να είναι $\rho = g(\rho)$, τότε η ακολουθία $x_{n} = g(x_{n})$ οδηγεί στη ρίζα της εξίσωσης.

Επομένως, προσπαθούμε να βρούμε μια σχέση της μορφής

$$x_{n + 1} = g\left( {x_{n}} \right)$$ (26)

ούτως ώστε

$$\lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = \rho \, .$$ (27)

ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν σε ένα διάστημα $I =(\rho - \varepsilon ,\rho + \varepsilon)$ περιέχεται μια απλή ρίζα $\rho$ της εξίσωσης $f(x)=0$ και, αν η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφεί στη μορφή $x = g(x)$ με $\vert g'(x)\vert \leq \rho < 1$, τότε η ακολουθία που προκύπτει με $x_{0} \in I$ συγκλίνει και δίνει τη ρίζα $\rho$ στο όριο $n \to \infty$. Επιπλέον, αυτή είναι μοναδική ρίζα της $f(x)$ στο διάστημα $I$.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν $x_{n} \in I$, τότε

$$x_{n + 1} - \rho = g(x_n) - g(\rho) = \frac{g(x_n) - g(\rho... ...x_n - \rho} \left( x_n- \rho \right) = g'(\xi_n)(x_n - \rho)$$

Επειδή $\left\vert {{g}'\left( {x_{n}} \right)} \right\vert \le \rho < 1$,

$$\left\vert {x_{n + 1} - \rho} \right\vert \le \rho\left\ver... ... - \rho} \right\vert < \left\vert {x_{n} - \rho} \right\vert$$

μετά από $n$ βήματα

$$\left\vert {x_{n} - \rho} \right\vert \le \rho^{n}\left\ver... ...its_{n \to \infty} \left\vert {x_{n} - \rho} \right\vert = 0$$

Τέλος, αν $\rho_1$ μια άλλη ρίζα, τότε

$$\rho - \rho_1 = \frac{{g(\rho) - g(\rho_1)}}{\rho - \rho_1}(\rho - \rho_1) = g'(\xi)( \rho - \rho_1)$$

Επομένως επειδή $\left\vert g'\left(\xi \right) \right\vert \le \rho < 1$ οδηγούμαστε στο συμπέρασμα

$$\left\vert {\rho -\rho_1} \right\vert \le r\left\vert {\rho - \rho_1} \right\vert < \left\vert {\rho - \rho_1} \right\vert$$

που είναι αδύνατον. Αρα η $\rho$ είναι η μοναδική ρίζα στο διάστημα $I$.