Βελτίωση Aitken

Όταν η σύγκλιση μιας μεθόδου είναι γραμμική, όπως στην προηγούμενη μέθοδο, όπου είχαμε $e_{n + 1} = {g}'(\rho)e_{n}$, τότε, για $n \to \infty$, η μέθοδος είναι δυνατόν να επεκταθεί, για να επιτύχουμε ακριβέστερο αποτέλεσμα χωρίς επιπλέον πράξεις.

Το σφάλμα μετά από $n$ εφαρμογές της σχέσης $x_{n + 1} = g'(x_n)$ είναι:

$$\rho - x_{n + 1} \approx g'(\rho)(\rho - x_n)$$

και μετά από $n+1$ εφαρμογές είναι:

$$\rho - x_{n + 1} \approx {g}'(r)(\rho-x_n)$$

οπότε διαιρώντας κατά μέλη βρίσκουμε ότι

$$\frac{\rho-x_{n+1}}{\rho-x_{n+2}}=\frac{g'(\rho)(\rho-x_n)} {g'(\rho)(\rho-x_{n+1})}$$

και λύνοντας ως προς $\rho$ βρίσκουμε:

$$\rho = x_{n} - \frac{{\left( {x_{n} - x_{n - 1}} \right)^{2}}}{{x_{n} - 2x_{n - 1} + x_{n - 2}} }$$ (29)

Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή ως βελτίωση του Aitken.