ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να αποδείξετε ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού $a$ δίνεται από τη σχέση:

$$x_{n + 1} = \frac{{x_{n}^{3} + 3x_{n} a}}{{3x_{n}^{2} + a}}$$ (38)

Αν θέσω $f(x)= x^{2} - a$ τότε $f'(x) = 2x$ και $f''(x)= 2$ οπότε αντικαθιστώντας στην αναδρομική σχέση Halleyκαταλήγω στη ζητούμενη αναδρομική σχέση.

Ας χρησιμοποιήσουμε τις δύο σχέσεις για να υπολογίσουμε την ρίζα του 9. Αρα θα βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης $f(x)=x^2-9=0$. Ας θεωρήσουμε μιά αρχική τιμή $x_0=15$ (αρκετά μακρυά από την πραγματική ρίζα). Ο παρακάτω πίνακας μας δείχνει τα αποτελέσματα από τις δύο μεθόδους.

Table: Σύγκριση των μεθόδων Newton-Raphsonκαι Halley για την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού 9.

Newton-Raphson	Σφάλμα	Halley	Σφαλμα
$x_0$=15	$\varepsilon_0=12$	$x_0$=15	$\varepsilon_0=12$
$x_1$=7.8	$\varepsilon_1=4.8$	$x_1$=5.526	$\varepsilon_1=2.5$
$x_2$=4.477	$\varepsilon_2=1.477$	$x_2$=3.16024	$\varepsilon_2=0.16$
$x_3$=3.2436	$\varepsilon_3=0.243$	$x_3$=3.00011	$\varepsilon_3=1.05\times 10^{-4}$
$x_4$=3.0092	$\varepsilon_4=9.15\times 10^{-3}$	$x_4$=3.0000000...	$\varepsilon_4=3.24\times 10^{-14}$
$x_5$=3.00001	$\varepsilon_5=1.39 \times 10^{-5}$	$x_5$= 3.0000000...	$\varepsilon_5= 0.0$

Figure: Γραφική απεικόνιση του μη-γραμμικoύ συστήματoς (1.39).