ÓÖÁËÌÁ

Ìéá óçìáíôéêÞ äéáðßóôùóç åßíáé üôé áí ïëïêëçñþóïõìå ôïí åðüìåíï üñï ôïõ óõìðôùôéêïý ðïëõùíýìïõ ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ óöÜëìáôïò âñßóêïõìå üôé ìçäåíßæåôáé. ÄçëáäÞ

$$\frac{1}{6}\int_{x_0}^{x_2}s(s-1)(s-2) \Delta^3 f_0 dx =0 \, .$$ (158)

Ôï áðïôÝëåóìá áõôü áðïôåëåß `` åõôõ÷Þ óýìðôùóç '' äéüôé ìå áõôü ôïí ôñüðï ôï óöÜëìá èá ðñïÝëèåé áðü ôïí áíþôåñçò ôÜîçò üñï ôïõ óõìðôùôéêïý ðïëõùíýìïõ êáé åðïìÝíùò èá åßíáé ìéêñüôåñï áðï üôé èá áíáìÝíáìå. ÅðïìÝíùò èá ïëïêëçñþóïõìå ôï ìåèåðüìåíï üñï êáé ôï óöÜëìá óôçí áñéèìçôéêÞ ïëïêëÞñùóç åßíáé:

$$E=\frac{1}{24}\int_{x_0}^{x_2}s(s-1)(s-2)(s-3) h^4 f^{(4)}(\xi) dx=...= -\frac{1}{90}h^5 f^{(4)}(\xi_1)$$ (159)

ãéá $x_0\leq \xi_1 \leq x_2$.

ÐñïóÝããéóç ìå óõìðôùôéêü ðïëõþíõìï 3ïõ âáèìïý

Ìå âÜóç ôá ðñïçãïýìåíá âñßóêïõìå:

$$\int_{x_0}^{x_3}f(x) dx \rightarrow \int_{x_0}^{x_3}P_3(x_s)dx=\frac{3h}{8}\left(f_0+3f_1+3f_2+f_3 \right) \, .$$ (160)