Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ MULLER

Η μέθοδος Mullerαποτελεί επέκταση της μεθόδου της γραμμικής παρεμβολής και αντί να προσεγγίζει την συνάρτηση με ευθεία την προσέγγιζει με παραβολή.

Αν δοθούν τρεις αρχικές τιμές $x_{i - 2} ,x_{i - 1} ,x_{i}$, υποθέτουμε ότι η $f(x)$ προσεγγίζεται από ένα 2ο-βάθμιο πολυώνυμο $P(x)$ του οποίου εύκολα υπολογίζουμε τις ρίζες. Για τις τρεις αρχικές τιμές του $x_i$ λαμβάνουμε τρείς εξισώσεις της μορφής :

$$f(x_i)\approx P(x_i) = A x_{i}^2 + Bx_{i} + \Gamma$$ (20)

από τις οποίες υπολογίζουμε τους 3 συντελεστές του τριωνύμου μέσω των σχέσεων

$$A = qP\left( {x_{i}} \right) - q\left( {1 + q} \right)P\left( {x_{i - 1}} \right) + q^{2}P\left( {x_{i - 2}} \right)$$

$$B = \left( {2q + 1} \right)P\left( {x_{i}} \right) - \left( {1 + q} \right)^{2}P\left( {x_{i - 1}} \right) + q^{2}P\left( {x_{i - 2}} \right)$$ (21)

$$\Gamma = \left( {1 + q} \right)P\left( {x_{i}} \right)$$

όπου

$$q = \frac{{x_{i} - x_{i - 1}} }{{x_{i - 1} - x_{i - 2}} } \, .$$ (22)

Οπότε η επόμενη προσεγγιστική τιμή $x_{i + 1}$ βρίσκεται ως η ρίζα της παραβολής

$$Ax^{2} + Bx + \Gamma = 0 \, .$$ (23)