ΣΥΓΚΛΙΣΗ

Έστω $\xi$ η ακριβής ρίζα της εξίσωσης. Αν θεωρήσουμε ότι $\varepsilon _{n}=\left\vert\xi-x_n\right\vert$ είναι το σφάλμα στην εύρεση της ρίζας της $f\left(x\right)=0$ για $x = x_n$, τότε η μέθοδος της γραμμικής παρεμβολής συγκλίνει με βάση τη σχέση

$$\varepsilon _{n + 1} = k \cdot \varepsilon _{n}^{1.618}$$ (14)

Η απόδειξη αυτής της σχέσης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ώς βάση γαι τον υπολογισμό της ταχύτητας σύγκλισης και άλλων μεθόδων αυτού του κεφαλαίου.

Εστω η αναδρομική σχέση

$$x_{n + 2} = x_{n + 1} - \frac{{f\left( {x_{n + 1}} \right)}... ... f\left( {x_{n}} \right)}}\left( {x_{n + 1} - x_{n}} \right)$$ (15)

τότε

$$x_{n} = \xi + \varepsilon _{n}$$ (16)

όπου $f\left(\xi \right) = 0$. Δηλαδή, $\varepsilon _{n}$ είναι η « απόσταση » (το σφάλμα) της $x_{n}$ από την ακριβή ρίζα της εξίσωσης $\xi$. Επομένως αν θεωρήσουμε ένα ανάπτυγμα Taylor για κάθε μιά από τις τρείς τιμές $x_{1}$, $x_{2}$ και $x_{3}$

$$f\left( {x_{i}} \right) = f\left( {\xi + \varepsilon _{i}} ... ... \frac{{\varepsilon _{i}^{2}} }{{2}}{f}''\left( {\xi} \right)$$ (17)

και αντικαταστήσουμε τα αναπτύγματα στην αρχική σχέση βρίσκουμε

$$\xi + \varepsilon _{n + 2} = \xi + \varepsilon _{n + 1} - \... ...dot \left( {\varepsilon _{n + 1} - \varepsilon _{n}} \right)$$

η σχέση αυτή μετά από μερικές απλοποιήσεις οδηγεί στην:

$$\varepsilon _{n + 2} = \varepsilon _{n + 1} \left[ {1 - \le... ...ac{{{f}''\left( {\xi} \right)}}{{2{f}'\left( {\xi} \right)}}$$

η οποία συνδέει το σφάλμα στο βήμα ${n+2}$ με τα σφάλματα στα βήματα ${n+1}$ και ${n}$.

Το ζητούμενο όμως είναι μια σχέση της μορφής $\varepsilon _{n + 1} = k \cdot \varepsilon _{n}^{m}$ όπου τα ${k}$ και ${m}$ ειναι άγνωστες σταθερές. Για τον υπολογισμό μιας σχέσης αυτής της μορφής θα εργασθούμε ως εξης: τα σφάλματα στις επαναλήψεις ${n+1}$ και ${n+2}$ είναι

$$\left. \begin{array}{l} \varepsilon _{n + 1} = k \cdot \v... ...n_{n+1} \varepsilon_n \left(\frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}\right)$$

και τελικά λαμβάνουμε

$$\varepsilon_{n+1} = \left( {\frac{{1}}{{k}}} \right)^{\fr... ... - 1}}} \quad \mbox{όπου}\quad A = \frac{f''(\xi)}{2f'(\xi)}$$ (18)

οπότε αντικαθιστώντας και το $\varepsilon _{n + 1}$ οδηγούμε σε μια σχέση μόνο για το $\varepsilon _{n}$ από την οποία θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τις τιμές του $k$ και $m$. Άρα

$$k\cdot \varepsilon _{n}^{m} = \left(\frac{A}{k}\right)^{\fr... ... - m - 1 = 0 \\ \end{array} \hfill \\ \end{array} \right.$$

Άρα

$$m = \frac{1\pm \sqrt {5}}{2} = 1.618 \quad \mbox{και} \quad ... ...frac{{{f}''\left( {\xi} \right)}}{{2{f}'\left( {\xi} \right)}}$$

Οποτε τελικά καταλήγουμε στη ζητούμενη σχέση:

$$\varepsilon _{n + 1} = k \cdot \varepsilon _{n}^{1.618}$$ (19)

Παρατηρούμε ότι η σύγκλιση της μεθόδου δεν είναι γραμμική αλλά περιπού τετραγωνική και προφανώς η εύρεση της ρίζας μιας εξίσωσης απαιτεί σημαντικά μικρότερο αριθμό αριθμητικών πράξεων.