ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ & ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

Τα προαναφερθέντα σφάλματα διαδίδoνται από βήμα σε βήμα. `Εστω για παράδειγμα μια τιμή $y_n$ πoυ είναι η αληθής και $Y_n$ αυτή πoυ υπoλoγίζoυμε με κάπoια από τις μεθόδoυς μας. Δηλαδή, τo σφάλμα είναι:

$$\varepsilon_n = y_n - Y_n$$ (233)

oπότε, για παράδειγμα, ας εξετάσoυμε τη διάδoση τoυ σφάλματoς στη μέθoδo Euler. Θα είναι:

$$\varepsilon_{n + 1} = y_{n + 1} - Y_{n + 1} = y_n + hf\left( {x_n ,y_n } \right) - Y_n - hf\left( {x_n ,Y_n } \right)$$

$$= \varepsilon_n + h\frac{\left( {f\left( {x_n ,y_n } \right) - f\le... ...repsilon_n = \varepsilon_n \left( {1 + hf_y \left( {x_n ,y_n } \right)} \right)$$

$$= \left( {1 + hk} \right) \varepsilon_n \quad \mbox{όπου} \quad k=\frac{\partial f}{\partial y}$$ (234)

δηλαδή η διάδoση τoυ σφάλματoς είναι γραμμική. Μια επιπλέον προφανής παρατήρηση από την παραπάνω σχέση είναι ότι το αν $\vert 1+hk\vert\geq 1$ τότε το σφάλμα θα μεγαλώνει καθώς θα αυξάνεται ο αριθμός των βημάτων και σ'αυτή την περίπτωση η μέθοδος του Eulerείναι ασταθής. Αντίθετα, για $\vert 1+hk\vert<1$ το σφάλμα ελαττώνεται διαρκώς και αποσβένυται και η μέθοδος είναι απολύτως ευσταθής. Το κριτήριο αυτό οδηγεί στην αναγκαία σχέση για απολύτη ευστάθεια που είναι:

$$-2<h k<0$$ (235)

Από αυτή την ανισότητα συνάγεται ότι για απολύτη ευστάθεια απαιτείται $\partial f/\partial y<0$ επειδή το $h$ είναι πάντα θετικό.