ΣΥΓΚΛΙΣΗ

Ας υποθέσουμε τώρα ότι η υπο μελέτη διαφορική εξίσωση είναι της μορφής

$$\frac{dy}{dx}=A y$$ (236)

με προφανή λύση $y=e^{Ax}$. Η μέθοδος του Eulerδίνει τις προσεγγιστικές λύσεις μέσω μιας αναδρομικής σχέσης της μορφής :

$$y_{n+1}=y_n+hAy_n=(1+hA)y_n \quad \mbox{για} \quad n=0,1,2,...$$ (237)

Οπότε αν κάνουμε επαναληπτική χρήση της σχέσης αυτής καταλήγουμε

$$y_{n+1}=(1+hA)^{n+1}y_0 \quad \mbox{για} \quad n=0,1,2,...$$ (238)

Για μικρά $h$ ισχύει ότι $1+hA\approx e^{hA}$ άρα

$$y_{n+1}=(1+hA)^{n+1}y_0\approx e^{(n+1)hA}y_0=e^{(x_{n+1}-x_0)A}y_0=e^{Ax_{n+1}}$$ (239)

υπενθυμίζουμε ότι $h=(x_{n+1}-x_0)/(n+1)$. Δηλαδή η αριθμητική τιμή για μικρά $h$ προσεγγίζει ή καλύτερα συγκλίνει στην ακριβή λύση $y=e^{Ax}$.