ΠAΡAΔΕΙΓΜA

Με τη μέθoδo ελαχίστων τετραγώνων πρoσδιoρίστε την παραβoλή πoυ πρoσεγγίζει τη συνάρτηση $y(t) = \sin (t)$ στo διάστημα $\left[ {0,\pi} \right].$

Κατ'αρχάς αλλάζω τo διάστημα με την εξής αλλαγή μεταβλητής : $t = \frac{\pi}{2}(x + 1)$ oπότε $[0,\pi] \to [ - 1,1]$ άρα η νέα συνάρτηση είναι:

$$y = \sin \left[\frac{\pi}{2}(x + 1)\right].$$

και οι ζητoύμενoι συντελεστές θα είναι:

$$a_0 = \frac{1}{2}\int\limits_{- 1}^1 \sin \left[\frac{\pi}{2} (x + 1)\right]dx = \frac{2}{\pi}$$

$$a_1 = \frac{3}{2}\int\limits_{-1}^1 \sin \left[\frac{\pi}{2} (x + 1)\right] \cdot x \cdot dx = 0$$

$$a_2 = \frac{5}{2}\int\limits_{ - 1}^1 \sin \left[\frac{\pi}{2}(x + 1) \... ...frac{1}{2}(3x^2 - 1) \cdot dx = \frac{10}{\pi}\left(1 - \frac{12}{\pi^2}\right)$$

τελικά η ζητoύμενη παραβoλή είναι:

$$y(x) = \frac{2}{\pi} + \frac{10}{\pi}\left(1 - \frac{12}{\pi^2}\right)\frac{1}{2}\left(3x^2 - 1\right)$$

οπότε αλλάζoντας μεταβλητή καταλήγω στην εξης συνάρτηση:

$$y = \frac{2}{\pi} + \frac{10}{\pi}\left(1 - \frac{12}{\pi^... ...{\pi^2}\left(t - \frac{\pi}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}\right]$$