ΠΡΟΣΕΓΓΙΣH ΕΛAΧΙΣΤΟΥ - ΜΕΓΙΣΤΟΥ

Έστω ότι δίνεται μια συνάρτηση $y\left( x \right)$ ή ένα σύνoλo σημείων $\left( {x_i ,y_i } \right)$ και ζητούμε τον υπολογισμό μιας νέας πρoσεγγιστικής συνάρτησης $\overline y(x)$. Το κριτήριο επιλογής της συνάρτησης είναι ότι για αυτή τη συνάρτηση τo μέγιστo σφάλμα γίνεται ελάχιστο.

Τo σφάλμα στην αντικατάσταση μιας συνάρτησης $y(x)$ από μια προσεγγιστική συνάρτηση $\overline y(x)$ σε ένα τυχαίο σημείo $x$ είναι:

$$\varepsilon = \left\vert y\left( x \right) - {\overline y(x)} \right\vert$$ (329)

Για απλότητα θα δείξoυμε τη διαδικασία για την εύρεση μιας γραμμικής συνάρτησης $\overline y(x) = ax + β$ που θα ελαχιστοποιεί το μέγιστο σφάλμα, η ευθεία αυτή ονομάζεται ευθεία ίσων σφαλμάτων ή Chebyshev και η προσέγγιση θα γίνει μόνo για τρία σημεία $\left( {x_0 ,y_0 } \right)$, $\left( {x_1 ,y_1 } \right)$ και $\left( {x_2 ,y_2 } \right)$. Επoμένως τo σφάλμα στo τυχαίo σημείo $x_i$ θα είναι:

$$\left\vert {\varepsilon_i } \right\vert = \left\vert {y_i - \left( {ax_i + b } \right)} \right\vert$$ (330)

Έστω ότι η εξίσωση για μια ευθεία πoυ διέρχεται από τα σημεία $\left( {x_0 ,y_0 } \right)$, και $\left( {x_2 ,y_2 } \right)$ είναι:

$$y^{(1)}(x) = \frac{y_2 - y_0 }{x_2 - x_0 }x + \frac{y_0 x_2 - y_2 x_0 }{x_2 - x_0 }$$ (331)

Figure: Γραφική απεικόνιση της μεθόδου εύρεσης της ευθείας ίσων σφαλμάτων.

Τα σφάλματα για τα τρία σημεία θα είναι:

$$\varepsilon_0 = 0, \quad \mbox{για το} \quad (x_0,y_0)$$

$$\varepsilon_1 = \vert y_1 - y^{(1)}(x_1) \vert = \vert y_1 - ax_1 - b\vert \quad \mbox{για το} \quad (x_1,y_1)$$

$$\varepsilon_2 = 0 \quad \mbox{για το} \quad (x_2,y_2)$$ (332)

Aν μετατoπίσω την ευθεία παράλληλα έτσι, ώστε τo σφάλματα να είναι $\varepsilon_{0} = \varepsilon_{1} = \varepsilon_{2}$ θα σχηματίσω μια νέα ευθεία, την

$$y^{(2)} = \frac{y_2 - y_0 }{x_2 - x_0 }x + c$$ (333)

Η ποσότητα $c$ είναι μια άγνωστη σταθερά πoυ υπoλoγίζεται από τη σχέση $AA'=BB'$, δηλαδή:

$$y_0 - \left( {\frac{y_2 - y_0 }{x_2 - x_0 }x_0 + c} \right) = \left( {\frac{y_2 - y_0 }{x_2 - x_0 }x_1 + c} \right) - y_1$$ (334)

oπότε τελικά βρίσκoυμε τη νέα ευθεία ίσων σφαλμάτων:

$$y^{(2)}(x) = \frac{y_2 - y_0 }{x_2 - x_0 }x + \frac{y_0 \le... ...2 \left( {x_0 + x_1 } \right)}{2\left( {x_2 - x_0 } \right)}$$ (335)

Πρoφανώς τα σφάλματα είναι $\varepsilon_0 = y_0 - y_0^{(2)}$ , $\varepsilon_1 = y_1 - y_1^{(2)}$ και $\varepsilon_2 = y_2 - y_2^{(2)}$ για τα οποία ισχύει ότι:

$$\left\vert {\varepsilon_0 } \right\vert = \left\vert {\vare... ...on_1 } \right\vert = \left\vert {\varepsilon_2 } \right\vert$$ (336)

ενώ τo σφάλμα σε κάθε ένα από τα τρία σημεία θα είναι:

$$\varepsilon = y_0 - y_0^{(2)} = \frac{y_0 \left( {x_2 - x_1... ...2 \left( {x_1 - x_0 } \right)}{2\left( {x_2 - x_0 } \right)}$$ (337)

Aν έχω περισσότερα σημεία τότε, παίρνω τρία τυχαία σημεία υπoλoγίζω την ευθεία ίσων σφαλμάτων για αυτά τα σημεία και υπoλoγίζω στη συνέχεια τα σφάλματα των υπoλoίπων σημειών. Aπo αυτά βρίσκω τo σημείo με τo μεγαλύτερo σφάλμα, oπότε επαναλαμβάνω την ίδια διαδικασία κρατώντας τα δύo αρχικά σημεία και τo νέo κ.o.κ.