Η Εξίσωση Laplace

Η εξίσωση Laplaceσε δύο διαστάσεις

$$\nabla^2u\equiv u_{xx}+u_{yy}=0$$ (349)

είναι μια κλασσική εξίσωση της Φυσικής και απαντάται σε όλα τα προβλήματα που σχετίζονται με πεδία και δυναμικά. Με βάση τους ορισμόυς που δώσαμε στη αρχή του κεφαλαίου είναι μια ελλειπτική διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους. Και όσα θα αναπτύξουμε μπορούν εύκολα να γενικευθούν στη εξίσωση Poisson

$$\nabla^2u\equiv u_{xx}+u_{yy}=g(x,y)$$ (350)

είτε στην εξίσωση Helmoltz

$$u_{xx}+u_{yy}+ f(x,y)u=g(x,y)$$ (351)

όπου η $g(x,y)$ και η $f(x,y)$ είναι δοθείσες συναρτήσεις.

Figure: Το σχήμα των πέντε σημείων για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace.

Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace. Αριθμητική επίλυση σημαίνει, αριθμητικό προσδιορισμό των παραγώγων της $u(x,y)$. Αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (4.18) τότε η $u_{xx}$ στο σημείο $(x_i,y_j)$ θα γραφεί ώς

$$\left[ u_{xx}\right]_{i,j} = {u_{i-1,j}-2u_{i,j} +u_{i+1,j} \over h^2}$$ (352)

και αντίστοιχα η $u_{yy}$

$$\left[ u_{yy}\right]_{i,j} = {u_{i,j-1}-2u_{i,j} +u_{i,j+1} \over h^2}$$ (353)

οπότε η εξίσωση Laplaceθα γραφεί ως

$$\nabla^2u \approx {u_{i-1,j}+u_{i+1,j}+u_{i,j-1} +u_{i,j+1} -4u_{i,j} \over h^2} =0$$ (354)

όπου $i=2,...,n-1$ και $j=2,...,m-1$. Αυτή η σχέση είναι γνωστή ώς τύπος των πέντε σημείων για την εξίσωση Laplace, και δίνει αποτελέσματα με σφάλμα της τάξης του $\sim h^2$. Η σχέση (8.12) συνδέει στη ουσία την τιμή της συνάρτησης $u(x,y)$ στη θέση $(x_i,y_j)$ με τα τέσσερα γειτονικά της σημεία $(x_{i+1},y_j)$, $(x_{i-1},y_j)$, $(x_i,y_{j-1})$ και $(x_i,y_{j+1})$, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.1. Βασικά, η σχέση (8.12) μπορεί να γραφεί και στη μορφή

$$u_{i,j}={1\over 4}\left( u_{i-1,j} +u_{i+1,j}+u_{i,j-1}+u_{i,j+1}\right)$$ (355)

που σημαίνει ότι η τιμή της $u(x,y)$ στη θέση $(x_i,y_j)$ είναι ο αριθμητικός μέσος των τεσσάρων γειτονικών της σημείων $(x_{i+1},y_j)$, $(x_{i-1},y_j)$, $(x_i,y_{j-1})$ και $(x_i,y_{j+1})$.

Ας υποθέσουμε τώρα πως δίνονται οι συνοριακές τιμές στα ακόλουθα σημεία του πλέγματος

$$u(x_1,y_j) = u_{1,j} \quad {\mbox{για}} \quad 2\leq j \leq m-1$$

$$u(x_i,y_1) = u_{i,1} \quad {\mbox{για}} \quad 2\leq i \leq n-1$$

$$u(x_n,y_j) = u_{n,j} \quad {\mbox{για}} \quad 2\leq j \leq m-1$$

$$u(x_i,y_m) = u_{i,m} \quad {\mbox{για}} \quad 2\leq i \leq n-1$$ (356)

Με βάση τη γνώση των παραπάνω συνοριακών τιμών μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις υπόλοιπες τιμές της συνάρτησης $u(x,y)$, λύνοντας στην ουσία ένα σύστημα $(n-2)\times(n-2)$ εξισώσεων για $(n-2)^2$ αγώστους.

Figure: Το $5\times 5$ πλέγμα για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace.

Για παράδειγμα στο πρόβλημα του σχήματος 8.2 έχουμε να υπολογίσουμε τις 9 τιμές τις συνάρτησης $u(x,y)$, δηλαδή τα $u_{2,2}$, $u_{2,3}$, $u_{2,4}$, $u_{3,2}$, $u_{3,3}$, $u_{3,4}$, $u_{4,2}$, $u_{4,3}$ και $u_{4,4}$. Αν εφαρμόσουμε τη σχέση (8.13) για κάθε ένα από τα παραπάνω σημεία καταλήγουμε σε ένα σύστημα 9 εξισώσεων για τους 9 αγνώστους που προαναφέραμε.

$$\begin{array}{cccccccccl} -4u_{2,2}& +u_{3,2}& &+u_{2,3}& ... ...&u_{4,3} &+u_{3,4} &-4u_{4,4} &=-u_{4,5}-u_{5,4} \end{array}$$ (357)

Η λύση αυτού του συστήματος θα μας δώσει τις ζητούμενες τιμές στα εσωτερικά σημεία του πλέγματος.