ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρεθεί η λύση της εξίσωσης Laplace$\nabla^2u=0$ για την περιοχή $\{(x,y):0 \leq x\leq 4, 0\leq y \leq 4 \}$ όπου $u(x,y)$ συμβολίζει τη θερμοκρασία στο σημείο $(x,y)$. Οι συνοριακές τιμές είναι:

$$u(x,0) = 20 \quad \mbox{και} \quad u(x,4)=180 \quad \mbox{για} \quad 0<x<4$$

$$u(0,y) = 80 \quad \mbox{και} \quad u(4,x)=0 \quad \mbox{για} \quad 0<y<4$$

ΛΥΣΗ

Κατ'αρχάς δημιουργούμε το πλέγμα του σχήματος 3 απο όπου καταλήγουμε εύκολα στο παρακάτω σύστημα 9 εξισώσεων με 9 αγνώστους

Figure: Το $5\times 5$ πλέγμα για το συγκεκριμένο παράδειγμα.

$$\begin{array}{cccccccccl} -4u_{2,2}& +u_{3,2}& &+u_{2,3}& ... ... & & & & & &u_{4,3} &+u_{3,4} &-4u_{4,4} &=-180 \end{array}$$ (358)

Η λύση του συστήματος μας οδηγεί στη λύση:
$u_{2,2}=55.7143$, $u_{3,2}=43.2143$, $u_{4,2}=27.1429$, $u_{2,3}=79.6429$, $u_{3,3}=70.000$, $u_{4,3}=45.3571$, $u_{2,4}=112.857$, $u_{3,4}=111.786$ και $u_{4,4}=84.2857$.

Figure: Το γράφημα της λύσης της εξίσωσης Laplaceγια το παράδειγμα. Εχει χρησιμοποιηθεί πλέγμα $15\times 15$.

Σημαντική βελτίωση στην ακρίβεια της μεθόδου μπορεί να επιτευχθει με την αντικατάσταση των παραγώγων της εξίσωσης Laplaceμε βάση τη σχέση (4.18). Οπότε η εξίσωση Laplaceθα γραφεί ως

$$\nabla^2u \approx {u_{i-1,j+1}+4u_{i,j+1}+u_{i+1,j+1} +4u_{... ..._{i+1,j}+u_{i-1,j-1}+4u_{i,j-1}+u_{i+1,j-1} \over 6h^2} =0$$ (359)

όπου $i=2,...,n-1$ και $j=2,...,m-1$. Αυτή η σχέση είναι γνωστή ώς τύπος των εννέα σημείων για την εξίσωση Laplace, και δίνει αποτελέσματα με σφάλμα της τάξης του $\sim h^4$.