ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Εστω ότι ζητούμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα $I=\int_0^1\arctan(x) dx$. Για τον υπολογισμό της τιμής του θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το ανάπτυγμα Taylorτης συνάρτησης $\arctan(x)$, δηλαδή

$$\arctan(x)\approx x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-...$$

οπότε αν διατηρήσουμε όρους ώς και $Ο(x^7)$ λαμβάνουμε

$$I' = \int_0^1 \left( x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7} \righ... ...rac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}+\frac{x^6}{30}-\frac{x^8}{56}\right)\right\vert _0^1$$

$$= \frac{121}{280} = 0.4321428571 \, .$$

H ακριβής τιμή είναι $I=0.4388245732$, άρα το σχετικό σφάλμα είναι $R_I=(I-I')/I=0.0152264$. Αν στην παραπάνω προσέγγιση διατηρούσαμε όρους ώς και $Ο(x^9)$ τότε η προσεγγιστική τιμή του ολοκληρώματος θα ήταν $Ι'=0.4432539683$ και το σχετικό σφάλμα $R_I=-0.0100938$. Δηλαδή όπως αναμενόταν η ακρίβεια βελτιώθηκε.