ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Ας θεωρησουμε τα παρακάτω αναπτύματα Taylorτων συναρτήσεων:

$$e^h=1+h+\frac{h^2}{2!}+\frac{h^3}{3!}+O(h^4) \quad \mbox{και} \quad \cos(h)=1-\frac{h^2}{2!}+\frac{h^4}{4!}+O(h^6) \, .$$

θα εκτιμήσουμε την τάξη της προσέγγισης για το άθροισμα και τη διαφορά των παραπάνω συναρτήσεων.

Το άθροισμα θα είναι:

$$e^h+\cos(h) = 1+h+\frac{h^2}{2!}+\frac{h^3}{3!}+O(h^4) +1-\frac{h^2}{2!}+\frac{h^4}{4!}+O(h^6)$$

$$= 2+h+\frac{h^3}{3!}+O(h^4)+\frac{h^4}{4!}+O(h^6)$$

και επομένως το άθροισμα έχει ακρίβεια τάξης $O(h^4)$, δηλαδή το αποτέλεσμα είναι:

$$e^h+\cos(h)=2+h+\frac{h^3}{3!}+O(h^4)$$

Το γινόμενο θα είναι:

$$e^h\cos(h) = \left(1+h+\frac{h^2}{2!}+\frac{h^3}{3!}+O(h^4)\right) \left(1-\frac{h^2}{2!}+\frac{h^4}{4!}+O(h^6)\right)$$

$$= 1+h-\frac{h^3}{3}-\frac{5h^4}{24}-\frac{h^5}{24}+\frac{h^6}{48} +\frac{h^7}{144} +O(h^6)+O(h^4)+O(h^4)O(h^6)$$

και επομένως το γινόμενο έχει ακρίβεια τάξης $O(h^4)$, δηλαδή το αποτέλεσμα είναι:

$$e^h\cos(h)=1+h-\frac{h^3}{3}+O(h^4) \, .$$