Διάδοση σφάλματος

Ας προσπαθήσουμε να εξετάσουμε τον τρόπο με τον οποίο ένα σφάλμα διαδίδεται κατά τη διάρκεια επαναλαμβανόμενων επαναλήψεων. Ας θεωρήσουμε την πρόσθεση δύο αριθμών $x$ και $y$. Προφανώς, στον ΗΥ αντί των ακριβών τιμών θα γίνει πρόσθεση των προσεγγιστικών τους τιμών $x'$ και $y'$, που εμπεριέχουν σφάλμα $\varepsilon_x$ και $\varepsilon_y$ αντίστοιχα. Δηλαδή, θα είναι $x=x'+\varepsilon_x$ και $y=y'+\varepsilon_y$ οπότε το άθροισμα τους θα είναι

$$x+y=(x'+\varepsilon_x)+(y'+\varepsilon_y)= (x'+y')+(\varepsilon_x+\varepsilon_x) \, .$$ (389)

`Αρα στην πράξη της πρόσθεσης το συνολικό σφάλμα θα είναι το άθροισμα των επι μέρους σφαλμάτων.

Στον πολλαπλασιασμό η εκτίμηση του σφάλματος είναι δυσκολότερη. Το γινόμενο είναι

$$xy=(x'+\varepsilon_x)(y'+\varepsilon_y)=x'y'+x'\varepsilon_y +y'\varepsilon_x + \varepsilon_x \varepsilon_x$$ (390)

Αν ισχύει ότι $\vert x'\vert>1$ και $\vert y'\vert>1$ τότε οι όροι $x'\varepsilon_y$ και $y'\varepsilon_x$ θα επαυξήσουν τα αρχικά σφάλματα, αλλά δεν είναι δυνατόν μ'αυτό τον τρόπο να γίνει ορθή εκτίμηση του σφάλματος. Αντ' αυτού είναι πιό αξιόπιστο κριτήριο η μελέτη του σχετικού σφάλματος. Η παραπάνω σχέση μπρορεί εύκολα να γραφεί ως

$$\frac{xy-x'y'}{xy}=\frac{x'\varepsilon_y+y'\varepsilon_x+\v... ...repsilon_x}{xy} +\frac{\varepsilon_x \varepsilon_y}{xy} \, .$$ (391)

Η σχέση αυτή μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά αν υποθέσουμε ότι $x'/x\approx 1$, $y'/y\approx 1$ και $(\varepsilon_y/x)(\varepsilon_x/y)=R_x R_y\approx 0$. Οπότε καταλήγουμε στην απλοποιημένη ορφή της παραπάνω σχέσης

$$\frac{xy-x'y'}{xy} \approx \frac{\varepsilon_y}{y}+\frac{\varepsilon_x}{x} = R_x+R_y \, .$$ (392)

Συνήθως έχουμε πολλές επαναλήψεις των απλών πράξεων, οπότε το ζητούμενο είναι τα οποιαδήποτε σφάλματα στα αρχικά δεδομένα μετά απο μια ακολουθία αριθμητικών πράξεων να έχουν το μικρότερο δυνατό σφάλμα στο τελικό αποτέλεσμα. Ενας αλγόριθμος που διατηρεί το σφάλμα μικρό κατά τη διαρκεια των πράξεων και το συνολικό τελικό σφάλμα δεν αυξάνεται θα λέγεται ευσταθής, αλλοίως θα λέγεται ασταθής. Επομένως, οι μέθοδοι που χρησιμοποιούμαι θα πρέπει πέραν την ταχύτητας σύγκλισης στο ορθό αποτέλεσμα να είναι και ευσταθείς.

ΟΡΙΣΜΟΣ: Ας παραστήσουμε με $E(n)$ την αύξηση του σφάλματος μετά από $n$ βήματα. Αν ισχύει ότι $\vert E(n)\vert\approx n \varepsilon$ θα λέμε ότι η αύξηση του σφάλματος είναι γραμμική. Αν $\vert E(n)\vert\approx K^n \varepsilon$ τότε η αύξηση του σφάλματος είναι εκθετική. Προφανώς αν $\vert K\vert>1$ το σφάλμα αυξάνεται χωρίς όρια καθώς $n \to \infty$, ενώ αν τότε το σφάλμα ελαχιστοποιείται καθώς $n \to \infty$.