ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να εφαρμοσθεί η μέθοδος για την εύρεση μιας ρίζας της εξίσωσης $f(x) = x + \ln(x)$ στο διάστημα $[0.1,1]$.

Δοκιμάζουμε διάφορες γραφές της εξίσωσης :

• $x_{n + 1} = - \ln (x_n)$

  αλλά $\vert g'(x)\vert = \left\vert\frac{1}{x} \right\vert \ge 1$ στο διάστημα $[0.1,1]$ οπότε δεν συγκλίνει.

• $x_{n + 1} = e^{ - x_{n}}$

  οπότε $\vert y'(x)\vert = \left\vert e^{ - x} \right\vert \le e^{ - 0.1} \approx 0.9 < 1$ αρα συγκλίνει.

• Μια άλλη γραφή είναι η εξής : $x = \frac{{x + e^{ - x}}}{{2}}$

  οπότε $\vert g'(x)\vert = \frac{1}{2}\vert 1 - e^{-x}\vert \le \frac{1}{2}\vert 1-e^{-1}\vert=0.316$ άρα συγκλίνει.

• $x=\frac{x+2e^{-x}}{3}$ οπότε $\vert g'(x)\vert = \frac{1}{3} \vert 1-2e^{-x}\vert \le \frac{1}{3}\vert 1-2e^{-1}\vert = 0.03$ άρα συγκλίνει.

Προφανώς θα επιλέξουμε την τελευταία γραφή και η ζητούμενη αναδρομική σχέση θα είναι:

$$x_{n + 1} = \frac{{x_{n} + 2e^{ - x_{n}} }}{{3}}$$