ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Newton-Raphsonγια την εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού $a$.

Αν θεωρήσουμε ότι το $a$ είναι λύση της εξίσωσης :

$$f\left( {x} \right) = x^{2} - a \quad \mbox{τότε} \quad {f}'\left( {x} \right) = 2x$$

οπότε αντικαθιστώντας στην αναδρομική σχέση (1.33) καταλήγω στην αναδρομική σχέση από την οποία με μόνο λίγες επαναλήψεις μπορεί να υπολογισθεί με ακρίβεια η ρίζα του αριθμού

$$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{{x_{n}^{2} - a}}{{2x_{n}} }$$

ή σε μια καλύτερη γραφή :

$$x_{n + 1} = \frac{{1}}{{2}}\left( {x_{n} + \frac{{a}}{{x_{n}} }} \right) \, .$$ (35)

Table: Αλγόριθμος για τον προγραμματισμό της μεθόδου Newton-Raphson.

COMPUTE$f(x_1)$, $f'(x_1)$

SET$x_{2}=x_{1}$

IF $\left(f(x_1) \ne 0 \right)$ END $\left(f'(x_1)\ne 0\right)$

REPEAT

SET$x_1=x_1$

SET $x_2=x_1-f(x_1)/f'(x_1)$

UNTIL $\left(\vert x_1-x_2\vert<E \right)$ OR $\left(\vert f(x_2)\vert < E' \right)$

ENDIF