Δεύτερης τάξης Newton-Raphson (Halley)

Θα δοκιμάσουμε μια βελτίωση της μεθόδου Newton-Raphson προσπαθώντας να επιτύχουμε ταχύτερη σύγκλιση. Για να το επιτύχουμε θα χρησιμοποιήσουμε ξανά το ανάπτυγμα Taylorκοντά στη ρίζα της εξίσωσης.

`Εστω ότι $\varepsilon = x_{n + 1} - x_{n}$, τότε

$$f\left( {x_{n + 1}} \right) = f\left( {x_{n} + \varepsilon ... ...{{\varepsilon ^{2}}}{{2}}{f}''\left( {x_{n}} \right) + \ldots$$

οπότε, αν θεωρήσουμε ότι $f\left( {x_{n + 1}} \right) \approx 0$, τότε

$$f\left( {x_{n}} \right) + \varepsilon \left[ {{f}'\left( {x... ...{{\varepsilon} }{{2}}{f}''\left( {x_{n}} \right)} \right] = 0$$

οπότε λύνοντας ώς το πρώτο από τα $\varepsilon$ που βρίσκεται εκτός της αγκύλης καταλήγουμε στην παρακάνω σχέση

$$\varepsilon = - \frac{{f\left( {x_{n}} \right)}}{{f\left( {... ...ight) + \frac{{\varepsilon} }{{2}}f''\left( {x_{n}} \right)}}$$

και αντικαθιστώντας το $\varepsilon$ του παρανομαστή απο την αντίστοιχη σχέση (1.32)της απλής Newton - Raphson που αναπτύξαμε προηγουμένως, δηλαδή:

$$\varepsilon \approx - \frac{{f\left( {x_{n}} \right)}}{{{f}'\left( {x_{n}} \right)}}$$

καταλήγουμε στη σχέση:

$$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{{f\left( {x_{n}} \right)}}{{{f}'\... ...) - {f}''\left( {x_{n}} \right) \, f\left( {x_{n}} \right)}}$$ (36)

Είναι προφανές ότι αν θέσουμε $f''(x_n)=0$ καταλήγουμε στη σχέση Newton-Raphson, εξίσωση (1.33). Η μέθοδος αυτή αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως μέθοδος του Halley.