ΣΦΑΛΜΑ

Ως σφάλμα ορίζουμε την « απόσταση» $\varepsilon _{n} = \left\vert\rho - x_n \right\vert$ της τιμής $x_{n}$ από τη ρίζα $\rho$ της εξίσωσης. Για τη μέθοδο διχοτόμησης το σφάλμα είναι μικρότερο απο το μισό του διαστήματος στο οποίο περικλείεται η ρίζα

$$\varepsilon_n \le \frac{1}{2}\left\vert a_n -b_n\right\vert$$ (8)

Σε κάθε βήμα το σφάλμα μειώνεται στο μισό του προηγουμένου

$$\varepsilon _{n + 1} = \frac{\varepsilon _n}{2} = \frac{\varepsilon _{n - 1}}{2^2} = \cdots = \frac{\varepsilon _0}{2^n}$$ (9)

υπάρχει επομένως η δυνατότητα να υπολογίσουμε από την αρχή τον αριθμό των βημάτων που απαιτούνατι για την επίτευξη μιας δεδομένης ακρίβειας στην εύρεση της ρίζας. Εστω επομένως οτι $E$ είναι η ζητούμενη ακρίβεια τότε η προγούμενη σχέση μας οδηγεί στο ζητούμενο:

$$n = \log_{2} \frac{\varepsilon _0}{E}$$ (10)

Δηλαδή άν δοθεί το εύρος του διαστήματος, $\varepsilon_0$, εντός του οποίου εντοπίζεται η ρίζα και τη ζητούμενη ακρίβεια $E$ τότε απο τη σχέση (1.10) υπολογίζεται άμμεσα ο απαιτούμενος αριθμός επαναλήψεων, $n$, της διαδικασίας.