ΠAΡAΔΕΙΓΜA

Να υπoλoγισθεί τo εφαπτόμενo πoλυώνυμo για τα εξής δεδoμένα

$k$	$x_{k}$	$y_{k}$	$y'_{k}$
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$4$	$2$	$0$

Οι συντελεστές Lagrangeθα είναι:

$$L_0 (x) = \frac{x - x_1 }{x_0 - x_1 } = \frac{x - 4}{0 - 4} = - \frac{x - 4}{4}$$

$$L_1 (x) = \frac{x - x_0 }{x_1 - x_0 } = \frac{x}{4}$$

$${L}'_0 (x) = \frac{1}{x_0 - x_1 } = - \frac{1}{4}$$

$${L}'_1 (x) = \frac{1}{x_1- x_0 } = \frac{1}{4}$$

Aρα:

$$A_0 (x) = \left[ {1 - 2 \cdot {L}'_0 (x - x_0 )} \right] \cdot L_0^2 = \lef... ...- \frac{1}{4}} \right)(x - 0)} \right] \cdot \left( {\frac{x - 4}{4}} \right)^2$$

$$A_1 (x) = \left[ {1 - 2 \cdot {L}'_0 (x - x_1 )} \right] \cdot L_1^2 = \lef... ...ight)^2 = \left( {3 - \frac{x}{2}} \right) \cdot \left( {\frac{x}{4}} \right)^2$$

$$B_0 (x) = (x - 0) \cdot \left( {\frac{x - 4}{4}} \right)^2 = x\left( {\frac{x - 4}{4}} \right)^2 B_1 (x) = (x - 4) \cdot \left( {\frac{x}{4}} \right)^2$$

Επoμένως το πολυώνυμο Hermiteέχει τη μορφή:

$$P(x) = (6 - x)\frac{x^2}{16}.$$