ΜΕΘΟΔΟΣ GAUSS

Στην μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών επιλέγαμε συγκεκριμένα σημεία στο διάστημα ολοκλήρωσης $[a,b]$ και στη συνέχεια προσπαθούσαμε να υπολογίσουμε μόνο τους συντελεστές της συνάρτησης $f(x)$ σ’ αυτά τα σημεία. Αν τώρα επεκτείνουμε την τεχνική και ζητήσουμε και τον υπολογισμό όχι μόνο των συντελεστών αλλά και συγκεκριμένων σημείων $a\leq x_i \leq b$ εντός του διαστήματος ολοκλήρωσης τότε αναγόμαστε σε μια εξαιρετική μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης γνωστή ως η μέθοδος του Gauss.

Στη συνέχεια θα εξετάσου μια απλή περίπτωση εφαρμογής της μεθόδου, `Εστω ότι το διαστημα ολοκλήρωσης είναι το $[-1,1]$ τότε υποθέτουμε ότι :

$$\int_{-1}^1 f(x)dx \approx a f(x_1) + b f(x_2)$$ (199)

δηλαδή, έχουμε τέσσερις άγνωστες ποσότητες $a$, $b$, $x_1$ και $x_2$. Για να τις υπολογίσουμε απαιτείται ένα σύστημα 4 εξισώσεων, οπότε θα απαιτήσουμε η μέθοδός μας να είναι ακριβής για πολυώνυμα έως και τρίτου βαθμού δηλαδή $f(x) = 1$, $f(x) = x$, $f(x)=x^2$ και $f(x)=x^3$. Με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε, αντικαθιστώντας κάθε μία από αυτές τις συναρτήσεις στη σχέση (5.50), ένα σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους, δηλαδή:

$$\left. \begin{array}{l} f\left( x \right) = 1 \quad \Righta... ...{1}{3} \right)^{1/2} = -0.5773 \\ \end{array} \\ \end{array}$$

Επομένως, η σχέση (5.50) γράφεται ώς:

$$\int_{-1}^1 f(x)dx \approx f\left(-0.5773\right) + f\left(0.5773\right)$$

Δηλαδή αρκεί ο υπολογισμός οποιασδήποτε συνάρτησης $f(x)$ σε δύο μόνο κατάλληλα σημεία τα $x_1=-0.5773$ και $x_2=0.5773$ για ένα σχετικά ακριβή αριθμητικό υπολογισμό της τιμής του ολοκληρώματος.