Γενίκευση της μεθόδου Gauss

Αν ένα ολοκλήρωμα είναι της μορφής :

$$Ι=\int_a^b w(x)y(x)dx$$ (206)

όπου $w(x)$ είναι μια συνάρτηση βάρους, τότε μπορούμε να επεκτείνουμε τη μέθοδο Gaussχρησιμοποιώντας όχι μόνο τα πολυώνυμα Legendreαλλά και άλλου είδους ορθογώνια πολυώνυμα ανάλογα με τη μορφή της υπο ολοκλήρωση συνάρτησης. Επομένως το παραπάνω ολοκλήρωμα θα γραφεί ως :

$$\int_a^b w(x)y(x)dx= \sum_{i=1}^n A_i y(x_i)$$ (207)

όπου τα $x_i$ και τα $A_i$ μπορούν να βρεθούν σε μορφή πινάκων. Αναλόγως με τη μορφή της συνάρτησης βάρους $w(x)$ θα έχουμε τις παρακάτω επιλογές.

• Μέθοδος Gauss-Legendre για συνάρτηση βάρους $w(x)=1$ που είναι η μέθοδος της προηγούμενης ενότητας.

• Μέθοδος Gauss-Laguerre για ολοκληρώματα της μορφής
  

  $$\int\limits_0^\infty {e^{ - x} } y\left( x \right)dx \approx \sum\limits_{i = 1}^n {{\rm A}_i y\left( {x_i } \right)}$$ (208)

  
  
  προφανώς η συνάρτηση βάρους είναι $w(x)=e^{-x}$ και τα $x_i$ είναι ρίζες των πολυωνύμων Laguerreπου δημιουργούνται από την παρακάτω αναδρομική σχέση:
  

  $$L_n(x) = e^x \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x}x^n\right)$$ (209)

  
  
  ενώ οι συντελεστές $A_i$ υπολογίζονται από τη σχέση:
  

  $$A_i = \frac{(n!)^2}{x_i \left[ L'_n(x_i)\right]^2 }$$ (210)

  
  
  και συνήθως δίνονται σε πίνακες, (βλέπε Πίνακα 5.5).
  

  Table: Οι τιμές των $x_i$ και $A_i$ της μεθόδου Gauss-Laguerreγια 2, 4 και 6 σημεία.

  $n$	$x_i$	$A_i$
  2	0.58578644	0.85355339
  	3.41421356	0.14644661
  4	0.32254769	0.60315410
  	1.74576110	0.35741869
  	4.53662030	0.03888791
  	9.39507091	0.00053929
  6	0.22284660	0.10122854
  	1.18893210	0.41700083
  	2.99273633	0.11337338
  	5.77514357	0.01039920
  	9.83746742	0.00026102
  	15.98287398	0.00000090

  
  

• Μέθοδος Gauss-Hermite για ολοκληρώματα της μορφής
  

  $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} y(x)dx \approx \sum_{i = 1}^n A_i y(x_i)$$ (211)

  
  
  Δηλαδή, η συνάρτηση βάρους είναι $w(x)=e^{-x^2}$ ενώ τα $x_i$ είναι οι ρίζες των πολυωνύμων Hermite. Τα πολυώνυμα Hermite μπορούν να δημιουργηθούν από τη σχέση
  

  $$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)$$ (212)

  
  
  ενώ οι συντελεστές $A_i$ υπολογίζονται από τη σχέση:
  

  $$A_i=\frac{2^{n + 1} n!\sqrt{\pi}}{\left[H_n'(x_i)\right]^2 }$$ (213)

  
  
  Tα $x_i$, $A_i$ δίνονται σε πίνακες, (βλέπε Πίνακα 5.6).

  
  

  Table: Οι τιμές των $x_i$ και $A_i$ της μεθόδου Gauss-Hermiteγια 2, 4 και 6 σημεία.

  $n$	$x_i$	$A_i$
  2	$\pm$ 0.70710678	0.88622693
  4	$\pm$ 0.52464762	0.80491409
  	$\pm$ 1.65068012	0.08131284
  6	$\pm$ 0.43607741	0.72462960
  	$\pm$ 1.33584907	0.15706732
  	$\pm$ 2.35060497	0.00453001

  
  

• Μέθοδος Gauss-Chebyshev για ολοκληρώματα της μορφής
  

  $$\int_{-1}^1 \frac{y(x)}{\sqrt{1 - x^2 } }dx \approx \frac{\pi}{n}\sum_{i=1}^n y(x_i)$$ (214)

  
  
  δηλαδή η συνάρτηση βάρους είναι
  

  $$w\left(x \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 }}$$ (215)

  
  
  ενώ τα $x_i$ είναι ρίζες των πολυωνύμων Chebyshev
  

  $$T_n(x) = \cos \left[n \, \arccos(x)\right]$$ (216)

  
  
  που δίνονται από τις σχέσεις
  

  $$x_i=\cos \left[\frac{\pi}{2n}(2i-1) \right] \,.$$ (217)

  
  
  Τέλος οι συντελεστές $A_i$ δίνονται από μιά απλή έκφραση
  

  $$A_i=\frac{\pi}{n}$$ (218)

  
  
  όπου $n$ είναι ο βαθμός του πολυωνύμου που χρησιμοποιούμε.