Μέθοδος Gauss-Legendre

Η μέθοδος Gaussμπορεί να γενικευθεί για αναπτύγματα περισσοτέρων όρων. Δηλαδή, αν χρησιμοποιήσουμε για $n$ σημεία θα έχουμε μια σχέση της μορφής :

$$\int_{-1}^1 f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n {A_i } f(x_i)$$ (201)

Με αυτό τον τρόπο θα πρέπει να λυθεί ένα σύστημα $2n$ εξισώσεων για τον υπολογισμό των $2n$ ποσοτήτων $A_i$ και $x_i$. Η μέθοδος με βάση τα παραπάνω θα είνα ακριβής για πολυώνυμα έως και βαθμού $2(n-1)$, οπότε οι $2n$ εξισώσεις αποδεικνύεται ότι μπορούν να γραφούν συνοπτικά ώς :

$$A_1 x_1^k + .... + A_n x_n^k = \left\{ {\begin{array}{*{20}... ...{για} \quad k = 2, 4, 6, ..., 2n - 2} \\ \end{array}} \right.$$ (202)

Αποδεικνύεται ότι τα $x_i$ είναι ρίζες των πολυωνύμων Legendre βαθμού $n$ των οποίων οι ρίζες βρίσκονται πάντα εντός του διαστήματος $(-1,1)$. Τα πολυώνυμα Legendreδημιουργούνται από την αναδρομική σχέση:

$$\left( {n + 1} \right)L_{n + 1} \left( x \right) - \left( ... ...right)xL_n \left( x \right) + nL_{n - 1} \left( x \right) = 0$$ (203)

όπου τα 3 πρώτα πολυώνυμα είναι:

$$L_0 \left( x \right) = 1, \qquad L_1 \left( x \right) = x \... ...} \quad L_2 \left( x \right) = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}$$ (204)

Κατ' αναλογία τα $A_i$ δίνονται από τις σχέσεις:

$$A_i = \frac{{2\left( {1 - x^2 } \right)}}{{n^2 \left[ {L_{n - 1} \left( {x_i } \right)} \right]^2 }}$$ (205)

Για παράδειγμα αν $n=4$ θα πρέπει να βρούμε τις ρίζες του 4ο-βάθμιου πολυωνύμου Legendre

$$P_4=\frac{1}{8}\left( 35 x^4-30 x^2 +3\right)$$

που είναι $x_i=\pm\left[(15\pm2\sqrt{30})/35\right]^{1/2}$ και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τη σχέση (5.56) υπολογίζω τα $A_i$. Οι ακριβείς τιμές τους δίνονται στον Πίνακα 5.4.

Επομένως, αρκεί να υπολογισθούν μια φορά τα $x_i$ και $A_i$ για διάφορους αριθμούς σημείων και στη συνέχεια χρησιμοποιούνται σε κάθε πρόβλημα.

Table: Οι τιμές των $x_i$ και $A_i$ της μεθόδου Gauss-Legendreγια 2, 4 και 8 σημεία.

$n$	$x_i$	$A_i$
2	$\pm$ 0.57735027	1.0000000
4	$\pm$ 0.86113631	0.34785485
	$\pm$ 0.33948104	0.62214515
8	$\pm$ 0.96028986	0.10122854
	$\pm$ 0.79666648	0.22381034
	$\pm$ 0.52553241	0.31370665
	$\pm$ 0.18343464	0.36268378