Αριθμητική Λύση: Εξίσωση Διαφορών

Ας υποθέσουμε ότι το διάστημα $0\le x \le 1$ υποδιαιρείται σε $n-1$ υποδιαστήματα $\Delta x =h$ και ας υποθέσουμε ότι στη χρονική διεύθυνση ότι θα λύσουμε τη ΔΕΜΠ έως τη χρονική στιγμή $t=Τ$ οπότε θα θεωρήσουμε $m-1$ υποδιαιρέσεις στο διάστημα $0\le t\le T$, Σχήμα 8.7.

Figure: Η διαμέριση(πλέγμα) για την αριθμητική επίλυση της παραβολικής εξίσωσης.

Αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγους $u_t$ και $u_{xx}$ απο τις εξισώσεις διαφορών

$$u_{tt}(x,t) = \frac{u(x,t+k) - u(x,t)}{k} + \textsl{O}(k)$$ (377)

$$u_{xx}(x,t) = { u(x+h,t) -2 u(x,t) + u(x-h,t) \over h^2} + \textsl{O}(h^2)$$ (378)

οπότε αντικαθιστούμε την εξίσωση (8.34) με την εξίσωση διαφορών

$$\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{k}=\alpha^2\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h^2}$$ (379)

οπότε αν θέσουμε $r=\alpha^2 k/h^2$ στην παραπάνω σχέση δημιουργούμε την εξίσωση διαφορών

$$u_{i,j+1}= \left( 1-2r \right) u_{i,j} + r \left( u_{i-1,j}+u_{i+1,j} \right)$$ (380)

Η εξίσωση αυτή δίνει τις τιμές της συνάρτησης $u(t,x)$ στην γραμμή $j+1$ σαν συνάρτηση των τιμών της συνάρτησης στη γραμμή $j$, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.8.

Figure: Tο αριθμητικό σχήμα για την αριθμητική επίλυση της παραβολικής εξίσωσης.

Το παραπάνω αριθμητικό σχήμα είναι εξαιρετικά απλό και ο προγραμματισμός του σε οποιαδήποτε γλώσσα σχεδόν τετριμμένος. Παρ' όλα ταύτα θα πρέπει να εξετάσουμε την ευστάθειά του, πιο συγκεκριμένα το σχήμα είναι ευσταθές για $0 \le r \le 1/2$. Δηλαδή, το χρονικό βήμα θα πρέπει να καθορίζεται από τη σχέση $k\le h^2/(2\alpha^2)$. Ειδικά η επιλογή $r=1/2$ απλοποιεί το αριθμητικό σχήμα (8.40) που γράφεται στη μορφή:

$$u_{i,j+1}= \frac{ u_{i-1,j}+u_{i+1,j}}{2}$$ (381)

Θα πρέπει να παρατηρήσουμε ότι το σχήμα που παρουσιάσαμε είναι πρώτης τάξης, $O(k)$, ως προς το χρόνο και δεύτερης τάξης, $O(h^2)$, ως προς το χώρο.