Αριθμητική Λύση: Μέθοδος Crank-Nicholson

Η μέθοδος των Crankκαι Nicholsonείναι μια έμμεση μέθοδος αριθμητικής επίλυσης παραβολικών ΔΕΜΠ.

Σ' αυτήν τη μέθοδο η τιμή της συνάρτησης $u(x,y)$ σε κάποιο σημείο $(x_i,y_j)$ δεν υπολογίζεται απ'ευθείας αλλά μέσω της επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων. Πιο συγκεκριμένα στην διακριτοποίηση της 2ης χωρικής παραγώγου της $u(x,y)$ (δηλαδή της $u_{xx}$) αντί να χρησιμοποιήσουμε τα στοιχεία της γραμμής $j$ που είνα γνωστά, χρησιμοποιούμε και τα άγνωστα στοιχεία της γραμμής $j+1$ όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.9. Για την ακρίβεια παίρνουμε το μέσο όρο των διακριτοποιημένων τιμών της $u_{xx}$ όπως φαίνεται στην παρακάτω σχέση:

$$\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{k}=\frac{1}{2}\alpha^2\left( \fra... ...h^2}+ \frac{u_{i-1,j+1}-2u_{i,j+1}+u_{i+1,j+1}}{h^2} \right)$$ (382)

Είναι προφανές επομένως ότι στη σχέση αυτή υπαρχουν τρεις άγνωστες ποσότητες, τα $u_{i-1,j+1}$, $u_{i,j+1}$ και $u_{i+1,j+1}$. Αν αναδιατάξουμε την παραπάνω σχέση διατηρώντας απο αριστερά τις άγνωστες τιμές και από δεξιά τις γνωστές τιμές καταλήγουμε στη σχέση:

$$-r u_{i-1,j+1}+2(1+r)u_{i,j+1}-ru_{i+1,j+1}=2(1-r)u_{i,j}+r\left( u_{i-1,j}+u_{i+1,j}\right)$$ (383)

που σημαίνει ότι για τον υπολογισμό $u(x,y)$ στη χρονική στιγμή $j\cdot k$ θα πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα $n - 2$ τέτοιων εξισώσεων. Για απλότητα θα υποθέσουμε ότι $r=1$ οπότε η παραπάνω σχέση παίρνει την απλή μορφή:

$$-u_{i-1,j+1}+4u_{i,j+1}-u_{i+1,j+1}= u_{i-1,j}+u_{i+1,j}$$ (384)

που οδηγεί στο σύστημα:

$$\left(% \begin{array}{ccccccc} 4 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... ...,j}+u_{n-1,j} \\ u_{n-2,j}+2c_2 \\ \end{array}% \right)$$ (385)

του οποίου η λύση μας δίνει τις τιμές της $u(x,y)$ για όλα τα $x_i$ τη χρονική στιγμή $j\cdot k$.

Figure: Tο αριθμητικό σχήμα για την αριθμητική επίλυση της παραβολικής εξίσωσης $u_{t}=\alpha ^2u_{xx}$ με τη μέθοδο Crank-Nicholson.

Προφανώς, η διαδικασία αυτή είναι σημαντικά πιο χρονοβόρα από αυτήν που παρουσιάσαμε στην προηγούμενη ενότητα, αλλά είναι ευστάθης για κάθε τιμή, του $r$. Υπενθυμίζουμε, ότι στην προηγούμενη μέθοδο το κριτήριο ευστάθειας επέτρεπε τιμές $0 < r < 1/2$. Αρα με την έμμεση μέθοδο των Crank-Nicholsonμπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σημαντικά μεγαλύτερο χρονικό βήμα που επιταχύνει σημαντικά την επίλυση του προβλήματος.