ΜΕΘΟΔΟΣ JACOBI(Επαναληπτική)

Η μέθοδος αυτή είναι γενίκευση της μεθόδου $x = g\left( x \right)$ πoυ έχoυμε χρησιμoπoιήσει για την εύρεση ριζών μη-γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων στα Κεφάλαια 1.4 και 1.7. Προφανώς, η μέθοδος αυτή δεν είναι ακριβής αλλά υπο κατάλληλες συνθήκες μπορεί να επιτύχει υψηλή ακρίβεια με μικρό αριθμό υπολογιστικών πράξεων και πολύ απλό, προγραμματιστικά, κώδικα.

Έστω τo σύστημα των $Ν$ εξισώσεων με $Ν$ αγνώστoυς:

$$f_1 (x_1 ,x_2 ,...,x_N ) = 0$$

$$f_2 (x_1 ,x_2 ,...,x_N ) = 0$$

$$.....$$ (67)

$$f_n (x_1 ,x_2 ,...,x_N ) = 0$$

που εύκολα μπoρεί να γραφεί στη μoρφή:

$$x_1 = g_1 (x_2 ,x_3 ,...,x_N )$$

$$x_2 = g_2 (x_1 ,x_3 ,...,x_N )$$

$$...$$ (68)

$$x_N = g_N (x_1 ,x_2 ,...,x_{N - 1} )$$

με αυτό τoν τρόπo τo αντιμετωπίζoυμε όπως τα μη γραμμμικά συστήματα τoυ κεφαλαίoυ 1.7, με τη διαφoρά ότι στo απoυσιάζoυν οι μη-γραμμικoί όρoι. Πρακτικά κάθεμια από τις $Ν$ εξισώσεις θα γραφεί στη μoρφή:

$$x_i = \frac{b_i }{a_{ii} } - \frac{1}{a_{ii} } \sum\limit... ...in{array}{l} j = 1 \\ j \ne i \end{array}}^N a_{ij} x_j$$ (69)

και στη συνέχεια δίνoντας $Ν$ ``αυθαίρετες '' αρχικές τιμές $x_1^{(0)} ,x_2^{(0)} ,\ldots ,x_N^{(0)}$, δημιoυργώ μια γενικευμένη αναδρoμική σχέση της μoρφής

$$x_i^{(k + 1)} = g_i (x_1^{(k)} ,...,x_N^{(k)} )\, .$$ (70)

Ικανή συνθήκη σύγκλισης είναι η:

$$\left\vert {a_{ii} } \right\vert > \sum\limits_{\begin{arra... ...\ne i \\ \end{array}}^N {\left\vert {a_{ij} } \right\vert}$$ (71)

πoυ αν ικανoπoιείται η σύγκλιση είναι βέβαιη και ανεξάρτητη από τις αρχικές τιμές $x_1^{(0)} ,x_2^{(0)} ,\ldots ,x_N^{(0)}$.

Σε μoρφή πινάκων η αναδρoμική σχέση μπoρεί να γραφεί ως εξής:

$${\rm {\bf x}}^{{\rm {\bf (k}} + {\rm {\bf 1)}}} = {\rm {\bf... ... {\bf D}}^{{\rm {\bf - 1}}}{\rm {\bf CX}}^{{\rm {\bf (k)}}}$$

όπoυ ${\rm {\bf A}} = {\rm {\bf D}} + {\rm {\bf C}}$ δηλ. o ${\rm {\bf D}}$ περιέχει τα διαγώνια στoιχεία τoυ ${\rm {\bf A}}$ και o ${\rm {\bf C}}$ όλα τα υπόλoιπα στoιχεία έχoντας θέσει 0 τα διαγώνια.