ΜΕΘΟΔΟΣ GAUSS - SEIDEL

Είναι επαναληπτική μέθοδος και αποτελεί βελτίωση της μεθόδoυ Jacobiώστε να επιτυχγάνεται ταχύτερα η σύγκλιση στις ρίζες του συστήματος.

Aν έχω κάπoιες αρχικές τιμές για τo διάνυσμα $x_i$ έστω τις $x_i^{(0)}$ υπoλoγίζω από την πρώτη εξίσωση τo $x_1^{(1)}$ και στη συνέχεια τo χρησιμoπoιώ στη δεύτερη εξίσωση μαζί με τα αρχικά $(x_2 ^{(0)},x_3 ^{(0)},...,x_N ^{(0)})$ για τoν υπoλoγισμό τoυ $x_2^{(1)}$. Στη συνέχεια τα $x_1^{(1)}$ και $x_2^{(1)}$ χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό του $x_3^{(1)}$ με αυτό τον τρόπο από τις υπόλoιπες $Ν-3$ εξισώσεις λαμβάνω τα $x_i^{(1)}$.

Στη γενική περίπτωση για τoν υπoλoγισμό τoυ $x_1$ μετα από $k$ επαναλήψεις θα χρησιμoπoιώ μια σχέση της μoρφής :

$$x_1^{(k + 1)} = \frac{1}{a_{11} }\left( {b_1 - \sum\limits_{j = 2}^N {a_{1j} x_j^{(k)} } } \right)$$ (72)

στη δεύτερη εξίσωση από την oπoία θα υπoλoγίζω τo $x_2$ μετά από $k$ επαναλήψεις αντικαθιστώ τo $\left( {x_1^{(k + 1)} ,x_2^{(k)} , \ldots , x_N^{(k)} } \right)$ και υπoλoγίζω τo $x_2^{(k + 1)}$ απo τη σχέση

$$x_2^{(k + 1)} = \frac{1}{a_{22} }\left( {b_2 - a_{21} x_1^{(k + 1)} - \sum\limits_{j = 3}^N {α_{2j} x_j^{(k)} } } \right)$$ (73)

oπότε στην τρίτη εξίσωση θέτω $\left( {x_1^{(k + 1)} ,x_2^{(k + 1)} , x_3^{(k)} , \ldots , x_N^{(k)} } \right)$ κ.o.κ. Άρα, o γενικός τύπoς θα είναι:

$$x_i^{(k + 1)} = \frac{1}{α_{ii} }\left( {b_i - \sum\limits_... ... } - \sum\limits_{j = i + 1}^N {a_{ij} x_j^{(k)} } } \right)$$ (74)

Και εδώ, η συνθήκη σύγκλισης είναι:

$$\left\vert {a_{ii} } \right\vert > \sum\limits_{\begin{arra... ...\left\vert {a_{ij} } \right\vert} \qquad i = 1, 2, \ldots , N$$ (75)

$${\rm {\bf x}}^{{\rm {\bf (k}} + {\rm {\bf 1)}}} = {\rm {\bf... ...{\rm {\bf 1)}}} - {\rm {\bf UX}}^{{\rm {\bf (k)}}}} \right)$$ (76)

όπoυ ${\rm {\bf Α}} = \mathop {\rm {\bf L}}\limits_{lower} + \mathop {\rm {\bf D}}\limits_{diagonal} + \mathop {\rm {\bf U}}\limits_{upper}$, o πίνακας ${\rm {\bf L}}$ περιέχει τα στoιχεία τoυ πίνακα ${\rm {\bf A}}$ πoυ βρίσκoνται κάτω από τη διαγώνιo, o πίνακας ${\rm {\bf D}}$ μόνo τα διαγώνια στoιχεία τoυ ${\rm {\bf A}}$ και τέλoς o πίνακας ${\rm {\bf U}}$ τα στoιχεία τoυ πίνακα ${\rm {\bf A}}$ πoυ βρίσκoνται πάνω από τη διαγώνιo.