Η βελτίωση του Romberg

Αν με τον κανόνα του τραπεζίου έχουμε υπολογίσει αριθμητικά μια τιμή προσεγγιστική τιμή ενός ολοκληρώματος, έστω $I_1$, για βήμα $h=x_{i+1}-x_i$ και στη συνέχεια υπολογίσουμε μια νέα προσεγγιστική τιμή $I_2$ για βήμα $kh$, τότε μπορούμε να κάνουμε μια πρόβλεψη για την ακριβή τιμή.

Για παράδειγμα, αν χρησιμοποιούμε τη μέθοδο τραπεζίου με βήμα $h$ θα υπολογίσουμε μια τιμή για το ολοκλήρωμα έστω την $I_1$, ενώ για βήμα $kh$ μια άλλη τιμή του ολοκληρώματος έστω την $I_2$, οπότε αν η ακριβής τιμή είναι η $A$ θα έχουμε ότι:

• για βήμα $h$: Ακριβής Τιμή $A = I_1+ c h^2$
• για βήμα $kh$: Ακριβής Τιμή $A = I_2+ c k^2 h^2$

όπου $c$ μια σταθερά. Δηλαδή, δημιουργήσαμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους το $A$ και το $c$, του οποίου η λύση είναι:

$$A=\frac{k^2I_1-I_2}{k^2-1} \quad \mbox{και} \quad c=\frac{I_2-I_1}{h^2(1-k^2)}$$ (169)

Επομένως η ακριβής τιμή καθορίζεται από τις τιμές των $I_1$, $I_2$ και $k$. Αν για παράδειγμα θέσουμε $k=1/2$, τότε

$$A=I_2+\frac{1}{3}\left( I_2-I_1\right)$$ (170)

Γενικότερα, αν υποθέσουμε μέθοδο με σφάλμα τάξης $O(h^n)$, ο παραπάνω τύπος γενικεύεται ώς ακολούθως :

$$A=I_2+\frac{I_2-I_1}{2^n-1} \, .$$ (171)

Προφανώς η τιμή $A$ δεν είναι η ακριβής τιμή του ολοκληρώματος αλλά μια βελτίωση ή πρόβλεψη της τιμής του τελικού αποτελέσματος με χρήση των δύο αρχικών αποτελεσμάτων $I_1$ και $I_2$. Η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βελτιώσει αριθμητικά αποτελέσματα που βρέθηκαν με χρήση είτε της μεθόδου του τραπεζίου είτε του Simpson. Πρέπει να σημειώσουμε ότι δεν απαιτούνται στην πράξη δύο ολοκληρώσεις αλλά δύο διαφορετικές αθροίσεις των τιμών της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης. Αρκεί στην πρώτη άθροιση να πάρουμε όλες τις $n+1$ τιμές της που απαιτεί πχ η μέθοδος του τραπεζίου, και συγχρόνως να αθροίζουμε χωριστά και τις τιμές $(n+1)/2$ της συνάρτησης δηλαδή χρησιμοποιούμε κάθε δεύτερο $x_i$. Με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε τις δύο προσεγγιστικές τιμές του ολοκληρώματος, τα $I_1$ και $I_2$, και στη συνέχεια κάνουμε χρήση της σχέσης (5.22).