ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Αποδεικνύεται εύκολα ότι η μέθοδος Rombergγια τον κανόνα τραπεζίου με $k=1/2$ είναι ισοδύναμη της μεθόδου Simpson.

Ας δοκιμάσουμε κατ'αρχάς για 3 σημεία. Πράγματι, το ολοκλήρωμα $I_1$ για βήμα $2h$ και το ολοκλήρωμα $I_2$ για βήμα $h$ θα είναι:

$$I_1 = \frac{2h}{2}\left(f_0+f_2\right)=h\left(f_0+f_2\right)$$

$$I_2 = \frac{h}{2}\left(f_0+f_1\right) + \frac{h}{2}\left(f_1+f_2\right)=\frac{h}{2}\left(f_0+2f_1+f_2\right)$$

οπότε η «ακριβής τιμή» μέ βάση τα προηγούμενα, σχέση (5.21), θα είναι:

$$A=\frac{2h(f_0+2f_1+f_2)-h(f_0+f_2)}{3}=\frac{h}{3}\left(f_0+4f_1+f_2 \right)$$

που προφανώς αντιστοιχεί στη μεθόδο Simpson, εξίσωση (5.8). Δηλαδή, η ακρίβεια των αποτελεσμάτων με τη χρήση της μεθόδου Rombergαπό $O(h^3)$ έχει γίνει $O(h^5)$.

Προφανώς η παραπάνω διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για βελτίωση των αποτελεσμάτων της μεθόδου Simpsonοπότε η ακρίβεια των υπολογισμών από $O(h^5)$ γίνεται $O(h^7)$.