Εφαρμογή των Splinesστην Παραγώγιση και Ολοκλήρωση συναρτήσεων

Η προσέγγιση με splinesαποτελεί μια εξαιρετική μέθοδο προσέγγισης μιας συνάρτησης ή ένος συνόλου $(x_i,y_i)$ διακριτών δεδομένων με 3ο-βάθμια πολυώνυμα. Αν επομένως για ένα σύνολο διακριτών δεδομένων $(x_i,y_i)$ έχουμε υπολογίσει τους συντελεστές των 3ο-βαθμίων πολυωνύμων τότε οι splinesμπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον αριθμητικό υπολογισμό παραγώγων και ολοκληρωμάτων. Η κυβική splineπου προσεγγίζει μια συνάρτηση σε ένα διάστημα $x_i\leq x\leq x_{i+1}$ γράφεται:

$$f(x)=a_i(x-x_i)^3+b_i(x-x_i)^2+c_i(x-x_i)+d_i$$ (172)

και οι συντελεστές $a_i$, $b_i$, $c_i$ και $d_i$ δίνονται από τις σχέσεις :

$$a_i = \frac{S_{i+1}-S_i}{6(x_{i+1}-x_i)}, \qquad b_i=\frac{S_i}{2}, \qquad d_i=f(x_i)$$

$$c_i = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i} - \frac{2(x_{i+1}-x_i)S_i+(x_{i+1}-x_i)S_{i+1}}{6}$$ (173)

Ετσι, η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος σε κάποιο τυχαίο σημείο $(x,y)$ υπολογίζονται αυτόματα από την παραγώγιση του 3ο-βάθμιου πολυωνύμου (5.23). Δηλαδή, από τις σχέσεις

$$f'(x) = 3a_i(x-x_i)^2 + 2b_i(x-x_i)+c_i$$ (174)

$$f''(x) = 6a_i(x-x_i)$$ (175)

Ενώ στα $n+1$ σημεία $(x_i,y_i)$ οι παράγωγοι δίνονται πολύ απλά ως

$$f'(x_i)=c_i, \quad \mbox{και} \quad f''(x_i)=2b_i$$ (176)

Είναι προφανές ότι η κυβική splineδίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα μόνο για τον υπολογισμό παραγώγων πρώτης και δεύτερης τάξης. Ενώ για ανώτερης τάξης παραγώγους απαιτούνται ανώτερης τάξης splines.

Η αριθμητική ολοκλήρωση μιας συνάρτησης $f(x)$ ή μιας $n$-άδας σημείων $(x_i,y_i)$ μπορεί να προσεγγιστεί με αντικατάσταση της συνάρτησης με το 3ο-βάθμιο πολυώνυμο σε κάθε διάστημα $[x_i,x_{i+1}]$, δηλαδή:

$$\int_{x_0}^{x_{n}}f(x)dx = \sum_{i=0}^{n-1} \left[\frac{a_i}{4}(x-x_i)^4 +\frac{b_i}{3}(x-x_i)^3 +\frac{c_i}{2}(x-x_i)^2 +d_i(x-x_i)\right]_{x_i}^{x_{i+1}}$$

$$= \sum_{i=0}^{n-1} \left[\frac{a_i}{4}(x_{i+1}-x_i)^4 + \frac{b_i}{3}(x_{i+1}-x_i)^3 + \frac{c_i}{2}(x_{i+1}-x_i)^2 + d_i(x_{i+1}-x_i)\right] \, .$$

Στην πράξη χρησημοποιούμε ισαπέχοντα σημεία οπότε αν $h=x_{i+1}-x_i$, τότε η ολοκλήρωση ανάγεται στον υπολογισμό των αθροισμάτων των συντελεστών της κυβικής spline. Δηλαδή,

$$\int_{x_{0}}^{x_{n}}f(x)dx= \frac{h^4}{4}\sum_{i=0}^{n-1}a_i... ...-1}b_i +\frac{h^2}{2}\sum_{i=0}^{n-1}c_i +h\sum_{i=0}^{n-1}d_i$$ (177)

Eπομένως, αρκεί ο υπολογισμός των παραπάνω αθροισμάτων για να έχουμε μια εξαιρετικά ακριβή τιμή του ολοκληρώματος.