ΤΥΠΟΙ NEWTON-COTES

Η τεχνική της αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι ανάλογη μ' αυτή της αριθμητικής παραγώγισης. Κατ' αρχάς, είτε δίδεται μία συνάρτηση $f(x)$ προς ολοκλήρωση είτε δίνονται τα σημεία $(x_i,y_i)$ από τα οποία διέρχεται η συνάρτηση. Θα υπολογίσουμε ένα κατάλληλο συμπτωτικό πολυώνυμο και στη συνέχεια αντί της συνάρτησης ολοκληρώνουμε το συμπτωτικό πολυώνυμο. Δηλαδή:

$$\int_a^b y(x)dx \rightarrow \int_a^b P_n(x) dx$$ (150)

Το συμπτωτικό πολυώνυμο μπορεί να υπολογισθεί με χρήση του τύπου του Newton

$$P_n(x_s)=f_0+s\Delta f_0 + \frac{s(s-1)}{2!}\Delta^2 f_0 + \frac{s(s-1)(s-2)}{3!}\Delta^3 f_0+...$$ (151)

Υπενθυμίζουμε ότι $x_s=x_0+sh$.

Οπότε ανάλογα με τον αριθμό των όρων του πολυωνύμου που διατηρούμε λαμβάνουμε διάφορετικής ακρίβειας μεθόδους προσεγγιστικού υπολογισμού της τιμής των ορισμένων ολκληρωμάτων. Το σφάλμα στην αριθμητική ολοκλήρωση θα υπολογισθεί από την ολοκλήρωση του σφάλματος του συμπτωτικού πολυωνύμου, δηλαδή

$$E=\int_a^b E_n (x_s) dx$$ (152)

όπου

$$E_n(x_s)= \frac{s(s-1)(s-2)...(s-n)}{(n+1)!}h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi)$$ (153)

για $\xi\in[a,b]$.

Στη συνέχεια θα δημιουργήσουμε τύπους αριθμητικής ολοκλήρωσης με βάση το βαθμό του συμπτωτικού πολυωνύμου.

• Συμπτωτικό πολυώνυμο 1ου βαθμού

  Βρίσκουμε:
  

  $$\int_{x_0}^{x_1}f(x)dx \rightarrow \int_{x_0}^{x_1}P_1(x_s)dx= \int_{x_0}^{x_1}\left(f_0+s\Delta f_0 \right)dx = h\int_{s=0}^{s=1}\left(f_0+s\Delta f_0 \right)dx$$

  $$= h f_0 s \left\vert _0^1 +h\Delta f_0 \frac{s^2}{2}\right\vert _0^1 =h\left( f_0+\frac{1}{2}\Delta f_0\right)$$

  $$= \frac{h}{2}\left(f_0+f_1 \right)$$ (154)

  
  
  Είναι προφανές ότι έχουμε αντικαταστήσει στο διάστημα ολοκλήρωσης, από $x_0$ έως $x_1$ τη συνάρτηση $f(x)$ με μια ευθεία που ενώνει τα σημεία $(x_0,f(x_0))$ και $\left(x_1,f(x_1)\right)$. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το εμβαδό του τραπέζιου που σχηματίζεται.