Αριθμητική Επίλυση της Κυματικής Εξίσωσης

Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε μια ``πλήρως '' αριθμητική επίλυση της κυματικής εξίσωσης και για λόγους απλότητας θα περιορισθούμε σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα. Πιο συγκεκριμένα θα μελετήσουμε την εξίσωση που περιγράφει μία παλλόμενη χορδή μήκους $a$ με πακτωμένα τα άκρα της. Η κίνηση της περιγράφεται από την εξίσωση:

$${\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2} = c^2{\partial^2 u(x... ...mbox{\rm για} \quad 0<x<a \quad \mbox{\rm και} \quad 0<t<b$$ (360)

με οριακές συνθήκες

$$u(0,t)=0 \quad \mbox{\rm και} \quad u(a,t)=0 \quad \mbox{\rm για} \quad 0\leq t \leq b$$

$$u(x,0)=f(x) \quad \mbox{\rm για} \quad 0\leq x \leq a$$ (361)

$$u_t(x,0)=g(x) \quad \mbox{\rm για} \quad 0 < x < a$$

Παρότι υπάρχει αναλυτική λύση της εξίσωσης με βάση τη μέθοδο που χρησιμοποιήσαμε στην προηγούμενη ενότητα, με χρήση των σειρών Fourier, εδώ θα ακολουθήσουμε μια πλήρως αριθμητική τεχνική που αποτελεί βάση για τη μελέτη και πλέον σύνθετων υπερβολικών ΔΕΜΠ που δεν επιδέχονται αναλυτικών λύσεων.