Οι αρχικές τιμές

Οπως προαναφέραμε απαιτούνται οι αρχικές τιμές της $u(x,t)$ στις γραμμές $j = 1$ και $j=2$. Επειδή όμως η δεύτερη γραμμή δεν δίνεται πάντα την υπολογίζουμε με βάση τις αρχικές συνθηκες. Αν χρησιμοποιήσουμε πρώτης τάξης ανάπτυγμα Taylorτης $u(x,t)$ περι το σημείο $(x_i,0)$ λαμβάνουμε

$$u(x_i,k)=u(x_i,0)+k u_t(x_i,0) + O(k^2)$$ (368)

Οπότε επειδή $u(x_i,0)=f(x_i)=f_i$ και $u_t(x_i,0)=g(x_i)=g_i$ η παραπάνω σχέση γράφεται

$$u_{i,2}=f_i + k g_i \quad \mbox{\rm για} \quad i=2,3,..., n-1.$$ (369)

Προφανώς η παραπάνω σχέση είναι προσεγγιστική και το αριθμητικό σφάλμα που υπεισέρχεται μέσω της παραπάνω σχέσης είναι τάξης $O(k^2)$ το οποίο διαδίδεται κατά την διάρκεια της αριθμητικής εξέλιξης της εξίσωσης και γιαυτό είναι σημαντικό να θέτουμε απο την αρχή αρκετά μικρή τιμή στο $k$.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να λυθεί η κυματική εξίσωση της παλλόμενης χορδής

$$u_{tt}(x,t)=4 u_{xx}(x,t) \quad \mbox{\rm για} \quad 0<x<1 \quad \mbox{\rm και} \quad 0<t<0.5$$ (370)

με οριακές συνθήκες

$$u(0,t)=0 \quad \mbox{\rm και} \quad u(1,t)=0 \quad \mbox{\rm για} \quad 0\leq t \leq 0.5$$

$$u(x,0)=f(x)=\sin(\pi x)+ \sin(2\pi x) \quad \mbox{\rm για} \quad 0\leq x \leq 1$$ (371)

$$u_t(x,0)=g(x)=0 \quad \mbox{\rm για} \quad 0 < x < 1$$

ΛΥΣΗ

Για απλότητα θα χρησιμοποιήσουμε $h = 0.1$ και $k=0.05$. Επειδή $c=2$ λαμβάνουμε $r=ck/h=1$, επίσης επειδή $g(x)=0$ και $r=1$ η σχέση (8.28) γράφεται ως:

$$u_{i,2}={f_{i-1}+f_{i+1} \over 2}\quad \mbox{\rm για} \quad i=2,3,..., 9.$$ (372)

Αντικαθιστώντας $r=1$ στην εξίσωση (8.24) δημιουργούμε την αρκετά απλή αναδρομική σχέση

$$u_{i,j+1}=u_{i+1,j}+u_{i-1,j}-u_{i,j-1}$$ (373)