Μέθοδος του Filon

Είναι μια ιδιαίτερα χρήσιμη μέθοδος που βασίζεται στη τεχνική των προσδιοριστέων συντελεστών για ολοκληρώματα της μορφής

$$\int_a^b f(x)\sin(x)dx \quad \mbox{και} \quad \int_a^b f(x)\cos(x)dx$$

δηλαδή για ολοκληρώματα με περιοδικές συναρτήσεις. Για παράδειγμα θα τους θα εξετάσουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα:

$$\int_0^{2\pi}f(x)\sin(x)dx \approx A_1 f(0) + Α_2 f(\pi) + A_3 f(2\pi)$$

Η σχέση αυτή θα δίνει ακριβές αποτέλεσμα για $f(x) = 1$, $f(x) = x$ και $f(x)=x^2$ οπότε δημιουργούμε το παρακάτω σύστημα για τους τρείς άγνωστους συντελεστές

$$f(x) = 1 \quad \Rightarrow 0 = A_1 + A_2 + A_3$$

$$f(x) = x \quad \Rightarrow - 2\pi = \pi A_2 + 2\pi A_3$$

$$f(x) = x^2 \quad \Rightarrow - 4\pi ^2 = \pi ^2 A_2 + 4\pi ^2 A_3$$

με λύση $A_1 = 1$, $A_2=0$ και $A_3=-1$. Άρα

$$\int_0^{2\pi }f(x)\sin xdx \approx f(0)-f(2\pi) \, .$$