ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ

Γνωρίζουμε από τον Ολοκληρωτικό Λογισμό ότι για μια συνάρτηση $f(x)$ υπάρχει μια κατάλληλη τιμή $\xi$ στο διάστημα ολοκλήρωσης $(a,b)$ ούτως ώστε να ισχύει (θεώρημα μέσης τιμής):

$$\int_a^b {f\left( x \right)dx} = \left( b-a \right)f\left( \xi \right)$$ (178)

Αν το γενικεύσουμε, θα μπορούσαμε να προσεγγίσουμε ένα διάστημα με ένα γραμμικό συνδυασμό τιμών της $f\left( x \right)$ εντός του διαστήματος $\left(a,b\right)$. Επίσης, θα μπορούσαμε να συνδυάσουμε ακόμη και παραγώγους της $f\left( x \right)$ σ’ αυτό το διάστημα. Στην πιο απλή περίπτωση, προσεγγίζουμε το ολοκλήρωμα με δυο μόνο τιμές της συνάρτησης, την $f(a)$ και την $f(b)$. Οπότε γράφουμε:

$$I=\int_a^b f(x)dx \equiv c_0 f(a) + c_1 f(b)$$ (179)

Οι τιμές των $c_0$, $c_1$ εξαρτώνται από την $f(x)$ αλλά και από τις τιμές των $a$ και $b$.

Για να είναι αληθής η παραπάνω σχεση, θα πρέπει η $f(x)$ να είναι είτε σταθερή συνάρτηση είτε γραμμική ως προς $x$. Οπότε, αν αντικαταστήσουμε μια φορά για $f(x) = 1$ και στη συνέχεια για $f(x) = x$, τα ολοκληρώματα υπολογίζονται ακριβώς και επομένως θα δημιουργήσουμε δύο εξισώσεις για τους δύο αγνώστους $c_0$ και $c_1$. Δηλαδή:

$$f(x) = x \quad \Rightarrow \int_a^b {x\cdot dx} \left. { = \frac{{x^2 }}{2}} \right\vert _a^b = \frac{1}{2}\left( {b^2 - a^2 } \right) \equiv c_0 \cdot a + c_1 \cdot b$$ (180)

$$f(x) = 1 \quad \Rightarrow \int_a^b {1 \cdot dx} \left. { = x} \right\vert _a^b = \left( {b - a } \right) \equiv c_0 \cdot 1 + c_1 \cdot 1$$ (181)

Οπότε, εύκολα βρίσκουμε ότι:

$$c_0 = \frac{b-a}{2} \quad \mbox{και} \quad c_1 = \frac{b-a}{2}$$ (182)

Άρα

$$\int_a^b f(x)dx \equiv \frac{b-a}{2}\left[ f(a)+f(b)\right]$$ (183)

Ουσιαστικά, έχουμε δημιουργήσει ξανά τον «κανόνα του τραπεζίου», που δίνει ακριβή αποτελέσματα για συναρτήσεις που παριστάνουν ευθείες.

Αν συνεχίσουμε δημιουργώντας μία σχέση με τρεις όρους παρόμοια με την (5.30), δηλαδή,

$$\int_a^b f(x)dx \equiv c_0f(a)+c_1f\left(\frac{a+b}{2}\right)+c_2f(b)$$ (184)

τότε η παραπάνω σχέση μπορεί να είνα ακριβής μόνο αν η $f(x)$ ήταν πολυώνυμο το πολύ 2ου βαθμού. Οπότε, θέτω $f(x) = 1$, $f(x) = x$ και $f(x)=x^2$ και ολοκληρώνοντας για την κάθε μια συνάρτηση δημιουργώ ένα σύστημα τριών εξισώσεων για τους τρείς αγνώστους $c_0$, $c_1$ και $c_2$, από τη λύση του οποίου καταλήγω στην εξίσωση:

$$\int_a^b f(x)dx = \frac{b-a}{6}\left[ f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right]$$ (185)

που στην ουσία είναι ο κανόνας του Simpsonγια τρία σημεία.

Θα μπορούσαμε εύκολα να επεκτείνουμε την παραπάνω διακασία, προσθέτοντας και τις πρώτες παραγώγους της συνάρτησης σε κάποια σημεία του διαστήματος ολοκλήρωσης, για παράδειγμα:

$$\int_a^b f(x)dx=c_0f(a)+c_1f(b)+c_2f'(a)+c_3f'(b)$$ (186)

οπότε θα πρέπει να καταλήξω σε ένα σύστημα με τέσσερις άγνωστες ποσότητες που θα μας οδηγήσει στη σχέση:

$$\int_a^b {f\left( x \right)dx} = \frac{{\left( {b - a } \rig... ...}{{12}}\left( {f'\left( a\right) - f'\left( b \right)} \right)$$ (187)

Δηλαδή, θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μόνο με βάση τις τιμές της συνάρτησης και της παραγώγου της στα άκρα του διαστήματος $[a,b]$. Η σχέση αυτή γενικεύεται στον τύπο των Euler-Maclaurin(πώς?)

$$\int_{x_0 }^{x_n } f\left( x \right)dx = \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2f(x_1) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$

$$- \frac{h^2}{12}\left[ f'(x_n) - f'(x_0)\right]$$

$$+ \frac{h^4}{720}\left[f^{(3)}(x_n)-f^{(3)}(x_0) \right]$$

$$- \frac{h^6}{30240}\left[ f^{(5)}(x_n) - f^{(5)}(x_0) \right]$$ (188)

που είναι μια εξαιρετικά ακριβής μέθοδος και στην ουσία βελτιώνει το αποτέλεσμα με μόνο 6 επιπλέον υπολογισμούς της 1ης, 3ης και 5ης παραγώγου της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.