Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους

Πολλά σημαντικά επιστημονικά προβλήματα στο χώρο της φυσικής περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (ΔΕΜΠ). Συνήθως το φυσικό φαινόμενο που μελετάμε παριστάνεται από μια συνάρτηση περισοτέρων της μιας μεταβλητών που ικανοποιεί συγκεκριμένη μορφή εξίσωσης. Τα περισσότερα επιστημονικά προβλήματα μάλιστα περιγράφονταια από διαφορικές εξισώσεις των οποίων η ανώτερης τάξης παράγωγος είναι δεύτερης τάξης. Για παράδειγμα αν $\psi$ είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών $x$ και $y$ τότε υπάρχουν τρείς μερικές παράγωγοι της δεύτερης τάξης

$${\partial^2 \psi \over \partial x^2}, \qquad {\partial^2 \p... ...l x \partial y}, \qquad {\partial^2 \psi \over \partial y^2}$$ (343)

Με βάση τις τιμές των συντελεστών των παραγώγων δεύτερης τάξης κατατάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους σε ελλειπτικές, παραβολικές, υπερβολικές. Μια ΔΕΜΠ δέυτερης τάξης είναι της μορφής

$$A {\partial^2 \psi \over \partial x^2} + B{\partial^2 \psi ... ...\over \partial x}, {\partial \psi \over \partial x}\right)=0$$ (344)

Ανάλογα με την τιμή της ποσότητας $B^2-4AC$ οι ΔΕΜΠ κατατάσσονται ως:

• Ελλειπτικές, αν $B^2-4AC < 0$
• Παραβολικές, αν $B^2-4AC = 0$
• Υπερβολικές, αν $B^2-4AC > 0$

Αν οι συντελεστές $A$, $B$ και $C$ είναι συναρτήσεις των $x$, $y$ τότε είναι δυνατόν μια ΔΕΜΠ να άλλαζει ``κατηγορία'' σε διάφορες περιοχές του πεδίου ορισμού της.

Δυο κλασσικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους η εξίσωση Laplace

$$\nabla^2 \psi =0$$ (345)

και η εξίσωση Poisson

$$\nabla^2 \psi =f(x,y)$$ (346)

έχουν $B=0$, $A=C=1$, και επομένως είναι πάντοτε ελλειπτικές.

Η κυματική εξίσωση

$$\nabla^2 \psi -{1\over c^2}{\partial^2 \psi\over \partial t^2}=0$$ (347)

είναι κλασσική περίπτωση υπερβολικής ΔΕΜΠ

Ενώ η εξίσωση της θερμότητας

$$\sigma \nabla^2 \psi -{\partial \psi\over \partial t}=0$$ (348)

είναι χαρακτηριστική περίπτωση παραβολικής ΔΕΜΠ.

Για την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων απαιτούνται κατ' αρχάς οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες ή/και κατάλληλες αρχικές συνθήκες. Στη συνέχεια υπάρχουν δίαφορες τεχνικές αναλυτικής, ημι-αναλυτικής και αριθμητικής επίλυσης τους. Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με χαρακτηριστικά προβλήματα που συναντώνται στη Φυσική και περιγράφονται με ΔΕΜΠ. Θα παρουσιάσουμε τεχνικές ημι-αναλυτικής και αριθμητικής επίλυσης τους.